# This file was *autogenerated* from the file quadratic-modules.sage.

Modules
		sage.combinat.choose_nk sage.combinat.combination sage.combinat.composition sage.calculus.desolvers sage.structure.factorization sage.graphs.graph_list sage.groups.group sage.rings.integer sage.combinat.integer_list sage.rings.integer_ring sage.geometry.lattice_polytope sage.combinat.lyndon_word math sage.misc.misc sage.schemes.elliptic_curves.monsky_washnitzer sage.crypto.mq sage.combinat.multichoose_nk sage.combinat.necklace sage.libs.ntl.all operator os sage.combinat.partition sage.combinat.partitions sage.combinat.permutation sage.combinat.permutation_nk sage.groups.perm_gps.permgroup sage.structure.proof.all sage.combinat.q_analogues sage.combinat.ranker resource sage.combinat.ribbon sage sage.combinat.set_partition sage.combinat.set_partition_ordered signal sage.combinat.skew_partition sage.combinat.skew_tableau sage.combinat.split_nk sage.combinat.subset sage.combinat.subword sage.libs.symmetrica.all sys sage.combinat.tableau sage.tests.all weakref sage.combinat.word

Classes
		sage.groups.group.AbelianGroup(sage.groups.group.Group) quad_module quad_module_subgroup sage.structure.element.AdditiveGroupElement(sage.structure.element.ModuleElement) quad_module_element sage.structure.sage_object.SageObject(__builtin__.object) quad_module_subgroup_container   class quad_module(sage.groups.group.AbelianGroup)     Describes a finite quadratic module $(A,Q)=(\ZZ^n/M\ZZ^n, x\mapsto G[x])$.   EXAMPLES     sage: M = matrix(2,2,[2,1,1,2])     sage: G = 1/4 * matrix(2,2,[1,1/2,1/2,1])^(-1)     sage: phi = quad_module( M, G); phi     Finite quadratic module ([3],1/3*x^2)     sage: phi.order()     3       sage: phi0 = fqmodule([4])     sage: phi1 = fqmodule([3])     sage: phi2 = phi0 + phi1; phi2     Finite quadratic module ([24, 2],7/48*x0^2 + 3/4*x1^2)       sage: phi3 = fqmodule([5]); phi3     Finite quadratic module ([10],1/20*x^2)     sage: -phi3     Finite quadratic module ([10],19/20*x^2)     sage: phi3(17)     Finite quadratic module ([10],17/20*x^2)       sage: phi3 - phi3     Finite quadratic module ([10, 10],1/20*x0^2 + 19/20*x1^2)       sage: chi = fqmodule([11,33]);chi     Finite quadratic module ([66, 22],1/132*x0^2 + 1/44*x1^2)     sage: vals = chi.values()     sage: for val,mult in vals.iteritems():               if 1 == mult:                   print "%s:%d" %(val,mult)     3/4:1     1/4:1       sage: chi = fqmodule([11,33]); chi     Finite quadratic module ([66, 22],1/132*x0^2 + 1/44*x1^2)     sage: chi.tau_invariant(29)     1     sage: chi.tau_invariant(2)     -1     Method resolution order: quad_module sage.groups.group.AbelianGroup sage.groups.group.Group sage.structure.parent_gens.ParentWithGens sage.structure.parent_base.ParentWithBase sage.structure.parent.Parent sage.structure.sage_object.SageObject __builtin__.object Methods defined here: B(self, x, y) Return the value $B(x,y) = Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ reduced mod $\ZZ$.   INPUT     x, y -- quad_module_elements of self   EXAMPLE     sage: p=fqmodule([3,6,9]); p     Finite quadratic module ([36, 6, 6], 5/72*x0^2 + 1/3*x0*x1 + 5/12*x1^2 + 1/12*x2^2)     sage: (a,b,c) = p.gens()     sage: p.B( a-b, a*2 + b*100)     11/18 Q(self, x) Return the value $Q(x)$ reduced mod $\ZZ$.   INPUT     x -- an quad_module_element of self          (e.g. x = self.0*17 ) EXAMPLE     sage: p=fqmodule([2,4])     sage: (a,b) = p.gens()     sage: x = a*3 - b*5     sage: p.Q(x)     11/16 Witt_class(self) Return the family $\{sigma( A_p)\}_p$ as dictionary, where $A$ is this module, $A_p$ its $p$-part, and $p$ is running through the divisors of the exponent of $A$. __add__(self, phi) Return the orthogonal sum of quadratic modules $self + \phi$. __call__(self, object) Coerce object into an appopriate child object of self if possible.   EXAMPLES     sage: p=fqmodule([2,4])     sage: p.gens()     (g0, g1)     sage: z = p(0); z     0     sage: g1 + z     g1       sage: p([2,3])     g0*2+g1*3       sage: q = fqmodule([6,3]); q     Finite quadratic module ([12, 6], 1/24*x0^2 + 1/12*x1^2)     q( matrix(ZZ,2,2,[2,4,0,3])) __init__(self, M, G, check=True, names=None) INPUT     M  -- an integral non-degenerate square matrix of size $n$           representing the finite abelien group $\ZZ^n/M\ZZ^n$.     G  -- a symmetric rational matrix of same size as $M$ and such           that $M^tGM$ is half integral and $2*G*M$ is an integer matrix,           representing the the quadatic           form $x + M\ZZ^n \mapsto G[x] + \ZZ$.    check -- True or False indicating whether M and G should be           checked to be a valid set of data for the definition of           a quadratic module.   NOTE     Use fqmodule() for more flexibility when creating quad_module objects. __neg__(self) If self is the group $(A,Q)$, return $(A,-Q)$. __sub__(self, phi) Return the quadratic module $self + \phi(-1)$. anisotropic_quotient(self) canonical_gens(self) If this module was initialized by an $n\times n$ matrix $M$, i.e. if $\ZZ^n/M\ZZ^n$ is its underlying group, then return the canonical generators of $\ZZ^n/M\ZZ^n$ expressed in terms of its generators. (The canonical canonical genarators are the elements $e_i+M\ZZ^n$ ($1\le i \le n$), where $e_i$ is the column vector which has 1 as $i$-th entry and zero entries otherwise.) chi_invariant() cyclic_factors(self) Return the orders of the generators of the underlying group. dual_group(self, U) Return the dual subgroup $U^\sharp = \{y \in A : B(y,x) = 0 \text{ for all } x \in U  \}$ of the subgroup $U$ of $self = (A,Q)$   NOTE     If  the  dual  group  is  given  as $K\ZZ^n/M\ZZ^n$ then the     columns of $K$ form a basis for the integral solutions  of     $2H^tGx \in \ZZ$. We solve this  by the trick of augmenting     $$2H^tGx$ by the unit matrix and solving the  corresonding     system of linear equations over $\ZZ$ elements(self) Returns a generator over every element of the set given by its generators in self.M.   OUTPUT:     generator -- each element of self   The elements e are given as vector $e= ( e_1,\dots, e_n )$, where n= (self.M.ncols() ) and $e_i \in \{0, \dots, g_i -1 \}$ and $g_i$ is self.M[i][i].   EXAMPLES:     for x in Q.enumerate_elements():         do_something_with(x) enumerate_subgroups(self) # after subgroups() works, this method will be deleted # at the moment it is used for debugging # Or is the complete set of subgroups in the container useful? # Perhaps subgroups() should return everything if d is None exponent(self) Return the exponent of this module. gen(self, i=0) The $i$-th generator of the abelian group.   EXAMPLE     sage: r = fqmodule( [2, 4, 8]); r     Finite quadratic module ([16, 8, 4], 1/32*x0^2 + 1/16*x1^2 + 1/8*x2^2)     sage: r.gens()     (g0, g1, g2) group(self) is_Witt_equivalent(self, psi) Return True or False accordingly as this quadratic module is Witt_equivalent to $\psi$ or not. is_isomorphic(self, psi) Return True or False accordingly as this quadratic module is isomorphic to $\psi$ or not. is_multiplicative(self) Overides the method inherited from class AbelianGroup. is_nondegenerate(self) Return True or False accordingly if $self$ is non degenerate or not. isotropic_elements(self) Return the list of isotropic elements, e.g. the x with $Q( x ) = 0$   EXAMPLES:     sage: T=fqmodule([3,5])     sage: T.isotropic_elements()     [(0, 0), (15, 0)] isotropic_subgroups(self) Return a list of all isotropic subgroups of self.   NOTES:     Subgroups are represented  by lower triangular matrices $N$     in Hermite normal form dividing $M$.  Note that $N$ defines     an isotropic subgroups if $N^tGN$ is half integral. kernel(self) Return the dual subgroup of the undelying group of this, i.e. return $\{y \in A : B(y,x) = 0 \text{ for all } x \in A  \}$, for this module $(A,Q)$. level(self) local_component(self, p) Return the p-part of quadratic module $self$, where p is a prime number. ngens(self) The number of generators of the underlying abelian group.   EXAMPLE     sage: F = matrix( QQ, 3, 3, [ 1, 1/2, 5/2, 1/2, 17, 19/2, 5/2, 19/2, 3]); F       [   1  1/2  5/2]     [ 1/2   17 19/2]     [ 5/2 19/2    3]     sage: q = fqmodule( F); q     Finite quadratic module ([980], 157/1960*x^2)     sage: q.ngens()     1 order(self) If self is the quadratic module $(A,Q)$, return the order of $A$. orthogonal_group(self) Returns the orthogonal group of this quadratic module. quotient(self, U) Return the quotient module $self/U$ for the isotropic subgroup $H$ of self. If $H$ is not isotropic an excepion is thrown. sigma_invariant(self) If this QM equals $(M,Q)$, return $\sqrt{|M|}^{-1}\sum_{x\in M} \exp(-2\pi i Q(x))$   TODO     Much too slow for big modules.     Needs profiling.     Guess: problem with sqrt(). subgroup(self, list) subgroups(self, d=None) Return a list of all subgroups of $A$ of index $d$, where $A$ is the underlying group of self.   INPUT:     d -- integer the index or None, if None then every subgroups is returned   OUTPUT:     generator -- the subgroups of index d   NOTES:     Subgroups are  internally represented by lower triangular     matrices in Hermite normal form dividing $M$.       Any   subgroup  $U$   of  $\ZZ^n/M\ZZ^n$   is  of   the  form     $N\ZZ^n/M\ZZ^n$,  where  $N$  is  a regular  integral  square     matrix of  size $n$ such  that $N$ divides $M$,  (i.e. such     that  $N^{-1}M$  is  an   integer  matrix).  The  coset  $N     GL(n,\ZZ)$ is  uniquely determined by $U$.   Recall that any     such  coset contains  exactly one lower triangular matrix     $(h_[ij})$  in Hermite  normal formr  (i.e.  $h_{ii}>0$ and     $0\le h_{ij}$ < h_{ii}$ for $j < i$). tau_invariant(self, p=None) Return +1  or -1 accordingly  as the $|A|$ (resp.  the largest power of $p$ dividing $|A|$) is a perfect square or not, where $A$ is the undelying group  of  this.  We do not check whether $p$ is a prime. twist(self, a) If self is the quadratic module $(A,Q)$, return the twisted module $(A,a*G)$. values(self) If this is $(A,Q)$, return the values of $Q( x)$ ($x \in A$) as a dictionary d.   OUTPUT:     dictionary -- the mapping x -> Q(x)   For every possible $x$, $v= Q( x )$ is evaluated. The dictionary-entry d[ v ] tells how many elements x have Q( x ) == v.   EXAMPLES:     vals= values()       for v in vals:         multiplicity= vals[v]         print multiplicity * val       # or       for value, multiplicity in vals.iteritems():         print multiplicity * val zero_subspace(self) Data descriptors defined here: G G represents the quadatic form $x + M\ZZ^n \mapsto G[x] + \ZZ$. M M represents the finite abelian group $\ZZ^n/M\ZZ^n$. __dict__ dictionary for instance variables (if defined) __weakref__ list of weak references to the object (if defined) Methods inherited from sage.groups.group.AbelianGroup: is_abelian(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 114)   Return True. Data and other attributes inherited from sage.groups.group.AbelianGroup: __new__ = <built-in method __new__ of type object at 0x2b509a8a4100> T.__new__(S, ...) -> a new object with type S, a subtype of T __pyx_vtable__ = <PyCObject object at 0xa9dbe8> Methods inherited from sage.groups.group.Group: __contains__(...) x.__contains__(y) <==> y in x __hash__(...) x.__hash__() <==> hash(x) category(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 53)   The category of all groups is_atomic_repr(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 60)   True if the elements of this group have atomic string representations.  For example, integers are atomic but polynomials are not. is_finite(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 81)   Returns True if this group is finite. random_element(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 98)   Return a random element of this group. Methods inherited from sage.structure.parent_gens.ParentWithGens: __getitem__(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 211) __getslice__(...) x.__getslice__(i, j) <==> x[i:j]   Use of negative indices is not supported. __getstate__(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 413) __len__(...) x.__len__() <==> len(x) __setstate__(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 433) gens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 271)   Return a tuple whose entries are the generators for this object, in order. gens_dict(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 287)   Return a dictionary whose entries are \code{{var_name:variable,...}}. hom(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 462)   Return the unique homomorphism from self to codomain that sends \code{gens()} to the entries of \code{im_gens}. Raises a TypeError if there is no such homomorphism.   INPUT:     im_gens -- the images in the codomain of the generators of                this object under the homomorphism     codomain -- the codomain of the homomorphism     check -- whether to verify that the images of generators extend              to define a map (using only canonical coercisions).   OUTPUT:     a homomorphism self --> codomain   \note{As a shortcut, one can also give an object X instead of \code{im_gens}, in which case return the (if it exists) natural map to X.}   EXAMPLE: Polynomial Ring We first illustrate construction of a few homomorphisms involving a polynomial ring.       sage: R.<x> = PolynomialRing(ZZ)     sage: f = R.hom([5], QQ)     sage: f(x^2 - 19)     6       sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)     sage: f = R.hom([5], GF(7))     Traceback (most recent call last):     ...     TypeError: images do not define a valid homomorphism       sage: R.<x> = PolynomialRing(GF(7))     sage: f = R.hom([3], GF(49,'a'))     sage: f     Ring morphism:       From: Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 7       To:   Finite Field in a of size 7^2       Defn: x |--> 3     sage: f(x+6)     2     sage: f(x^2+1)     3   EXAMPLE: Natural morphism     sage: f = ZZ.hom(GF(5))     sage: f(7)     2     sage: f     Ring Coercion morphism:       From: Integer Ring       To:   Finite Field of size 5   There might not be a natural morphism, in which case a TypeError exception is raised.      sage: QQ.hom(ZZ)     Traceback (most recent call last):     ...     TypeError: Natural coercion morphism from Rational Field to Integer Ring not defined. inject_variables(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 333)   Inject the generators of self with their names into the namespace of the Python code from which this function is called.  Thus, e.g., if the generators of self are labeled 'a', 'b', and 'c', then after calling this method the variables a, b, and c in the current scope will be set equal to the generators of self.   NOTE: If Foo is a constructor for a SAGE object with generators, and Foo is defined in Pyrex, then it would typically call inject_variables() on the object it creates.  E.g., PolyomialRing(QQ, 'y') does this so that the variable y is the generator of the polynomial ring. injvar(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 358)   This is a synonym for inject_variables(...) <<<sage.structure.parent_gens.ParentWithGens.inject_variables>>> latex_name(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 405) latex_variable_names(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 379)   Returns the list of variable names suitable for latex output.   All '_SOMETHING' substrings are replaced by '_{SOMETHING}' recursively so that subscripts of subscripts work.   EXAMPLES:     sage: R, x = PolynomialRing(QQ,'x',12).objgens()     sage: x     (x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11)     sage: print R.latex_variable_names ()     ['x_{0}', 'x_{1}', 'x_{2}', 'x_{3}', 'x_{4}', 'x_{5}', 'x_{6}', 'x_{7}', 'x_{8}', 'x_{9}', 'x_{10}', 'x_{11}']     sage: f = x[0]^3 + 15/3 * x[1]^10     sage: print latex(f)     5 x_{1}^{10} + x_{0}^{3} list(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 220)   Return a list of all elements in this object, if possible (the object must define an iterator). objgen(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 251)   Return self and the generator of self.   INPUT:     names -- tuple or string   OUTPUT:     self  -- this object     an object -- gen()   EXAMPLES:     sage: R, x = PolynomialRing(QQ,'x').objgen()     sage: R     Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field     sage: x     x objgens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 231)   Return self and the generators of self as a tuple.   INPUT:     names -- tuple or string   OUTPUT:     self  -- this object     tuple -- gens()   EXAMPLES:     sage: R, vars = MPolynomialRing(QQ,3, 'x').objgens()     sage: R     Multivariate Polynomial Ring in x0, x1, x2 over Rational Field     sage: vars     (x0, x1, x2) variable_name(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 402) variable_names(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 374) Methods inherited from sage.structure.parent_base.ParentWithBase: Hom(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 360)   Hom(codomain, cat=None):   Return the homspace \code{Hom(self, codomain, cat)} of all homomorphisms from self to codomain in the category cat.  The default category is \code{category()}.   EXAMPLES:     sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2)     sage: R.Hom(QQ)     Set of Homomorphisms from Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field to Rational Field   Homspaces are defined for very general \sage objects, even elements of familiar rings.     sage: n = 5; Hom(n,7)     Set of Morphisms from 5 to 7 in Category of elements of Integer Ring     sage: z=(2/3); Hom(z,8/1)     Set of Morphisms from 2/3 to 8 in Category of elements of Rational Field   This example illustrates the optional third argument:     sage: QQ.Hom(ZZ, Sets())     Set of Morphisms from Rational Field to Integer Ring in Category of sets base(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 75) base_extend(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 71) base_extend_canonical(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 79)   Returns canonical base extension. NOTE: this function should not be extended. AUTHOR: Gonzalo Tornaria (2007-06-20) base_extend_canonical_sym(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 264)   Symmetric version of base_extend_canonical() NOTE: this function should not be extended. AUTHOR: Gonzalo Tornaria (2007-06-20) base_extend_recursive(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 305)   Returns recursive base extension. NOTE: this function should not be extended. AUTHOR: Gonzalo Tornaria (2007-06-20) base_ring(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 67) Methods inherited from sage.structure.parent.Parent: coerce_map_from(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 131) coerce_map_from_impl(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 165) construction(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 335)   Returns a pair (functor, parent) such that functor(parent) return self.  If this ring does not have a functorial construction, return None. get_action(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 197) get_action_impl(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 218) has_coerce_map_from(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 418) has_coerce_map_from_impl(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 442) init_coerce(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 87) Methods inherited from sage.structure.sage_object.SageObject: __repr__(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 83) db(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 166)   Dumps self into the SAGE database.  Use db(name) by itself to reload.     The database directory is \code{\$HOME/.sage/db} dump(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 147)   Same as save(filename, compress) dumps(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 153)   Dump self to a string s, which can later be reconstituted as self using loads(s). plot(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 90) rename(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 31)   Change self so it prints as x, where x is a string.   \note{This is \emph{only} supported for Python classes that derive from SageObject.}   EXAMPLES:     sage: x = PolynomialRing(QQ,'x').gen()     sage: g = x^3 + x - 5     sage: g     x^3 + x - 5     sage: g.rename('a polynomial')     sage: g     a polynomial     sage: g + x     x^3 + 2*x - 5     sage: h = g^100     sage: str(h)[:20]     'x^300 + 100*x^298 - '     sage: h.rename('x^300 + ...')     sage: h     x^300 + ...   Real numbers are not Python classes, so rename is not supported:     sage: a = 3.14     sage: type(a)     <type 'sage.rings.real_mpfr.RealNumber'>     sage: a.rename('pi')     Traceback (most recent call last):     ...     NotImplementedError: object does not support renaming: 3.14000000000000   \note{The reason C-extension types are not supported is if they were then every single one would have to carry around an extra attribute, which would be slower and waste a lot of memory.} reset_name(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 78) save(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 125)   Save self to the given filename.   EXAMPLES:     sage: f = x^3 + 5     sage: f.save(SAGE_TMP + '/file')     sage: load(SAGE_TMP + '/file.sobj')     x^3 + 5 version(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 108)   The version of \sage.   Call this to save the version of \sage in this object. If you then save and load this object it will know in what version of \sage it was created.   This only works on Python classes that derive from SageObject.   class quad_module_element(sage.structure.element.AdditiveGroupElement)     Describes an element of a quadratic module. (Code partly grabbed from sage.structure.element.AbelianGroupElement.)   EXAMPLES     sage: p = fqmodule([3,3])     sage: g0,g1 = p.gens()     sage: x = g0 + g1*5; x     g0 + g1*5     sage: -x     g0*5 + g1     sage: x*1001 + g1     g0*5 + g1*2     sage: p.Q(x)     1/6     Method resolution order: quad_module_element sage.structure.element.AdditiveGroupElement sage.structure.element.ModuleElement sage.structure.element.Element sage.structure.sage_object.SageObject __builtin__.object Methods defined here: __cmp__(self, other) __init__(self, phi, x) Create the element of the quad_module phi whose coordinates are given by the list x (or the zero element if $x=0$)   EXAMPLES     sage: q = fqmodule( [2,4])     sage: x = quad_module_element( q, [1,1])     sage: x     g0 + g1 __mul__(self, _n) requires that len(invs) = n __neg__(self) __sub__(self, x) class_repr(self) Express this element as vector representing its residue class in $\ZZ^n/M\ZZ^n$, where $M$ is the matrix used for creating the parent.   REMARK     We return the unique representative in the fundamental mesh given by     $0 \le x \le M(1,1,\dots,1)^t$. dot(self, h) list(self) norm(self) order(self) Returns the order of this element.   EXAMPLE Data descriptors defined here: __dict__ dictionary for instance variables (if defined) __weakref__ list of weak references to the object (if defined) Methods inherited from sage.structure.element.AdditiveGroupElement: __invert__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1159) Data and other attributes inherited from sage.structure.element.AdditiveGroupElement: __new__ = <built-in method __new__ of type object at 0x2b5090169500> T.__new__(S, ...) -> a new object with type S, a subtype of T __pyx_vtable__ = <PyCObject object at 0x2b5088f4ea58> Methods inherited from sage.structure.element.ModuleElement: __add__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 691)   Top-level addition operator for ModuleElements.   See extensive documentation at the top of element.pyx. __iadd__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 754) __imul__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 897) __isub__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 825) __radd__(...) x.__radd__(y) <==> y+x __rmul__(...) x.__rmul__(y) <==> y*x __rsub__(...) x.__rsub__(y) <==> y-x additive_order(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1049)   Return the additive order of self. Methods inherited from sage.structure.element.Element: __eq__(...) x.__eq__(y) <==> x==y __ge__(...) x.__ge__(y) <==> x>=y __gt__(...) x.__gt__(y) <==> x>y __hash__(...) x.__hash__() <==> hash(x) __le__(...) x.__le__(y) <==> x<=y __lt__(...) x.__lt__(y) <==> x<y __ne__(...) x.__ne__(y) <==> x!=y __nonzero__(...) x.__nonzero__() <==> x != 0 __reduce__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 294) __rxor__(...) x.__rxor__(y) <==> y^x __xor__(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 474) base_base_extend(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 322) base_base_extend_canonical_sym(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 357) base_extend(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 319) base_extend_canonical(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 339) base_extend_canonical_sym(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 348) base_extend_recursive(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 331) base_ring(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 360)   Returns the base ring of this element's parent (if that makes sense). category(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 366) is_zero(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 519)   Return True if self equals parent()(0). The default implementation is to fall back to 'not self.__nonzero__'.   NOTE: Do not re-implement this method in your subclass but implement __nonzero__ instead. n(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 427)   Return a numerical approximation of x with at least prec bits of precision.   EXAMPLES:     sage: (2/3).n()     0.666666666666667     sage: a = 2/3     sage: pi.n(digits=10)     3.141592654     sage: pi.n(prec=20)   # 20 bits     3.1416 parent(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 370)   Returns parent of this element; or, if the optional argument x is supplied, the result of coercing x into the parent of this element. subs(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 381)   Substitutes given generators with given values while not touching  other generators. This is a generic wrapper around __call__. The syntax is meant to be compatible with the corresponding method for symbolic expressions.   INPUT:     in_dict -- (optional) dictionary of inputs     **kwds  -- named parameters   OUTPUT:     new object if substitution is possible, otherwise self.   EXAMPLES:     sage: x, y = MPolynomialRing(ZZ,2,'xy').gens()       sage: f = x^2 + y + x^2*y^2 + 5     sage: f((5,y))     25*y^2 + y + 30     sage: f.subs({x:5})     25*y^2 + y + 30     sage: f.subs(x=5)     25*y^2 + y + 30     sage: (1/f).subs(x=5)     1/(25*y^2 + y + 30)     sage: Integer(5).subs(x=4)     5 substitute(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 444)   This is an alias for subs().   INPUT:     in_dict -- (optional) dictionary of inputs     **kwds  -- named parameters   OUTPUT:     new object if substitution is possible, otherwise self.   EXAMPLES:     sage: x, y = MPolynomialRing(ZZ,2,'xy').gens()       sage: f = x^2 + y + x^2*y^2 + 5     sage: f((5,y))     25*y^2 + y + 30     sage: f.substitute({x:5})     25*y^2 + y + 30     sage: f.substitute(x=5)     25*y^2 + y + 30     sage: (1/f).substitute(x=5)     1/(25*y^2 + y + 30)     sage: Integer(5).substitute(x=4)     5 Methods inherited from sage.structure.sage_object.SageObject: __repr__(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 83) db(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 166)   Dumps self into the SAGE database.  Use db(name) by itself to reload.     The database directory is \code{\$HOME/.sage/db} dump(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 147)   Same as save(filename, compress) dumps(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 153)   Dump self to a string s, which can later be reconstituted as self using loads(s). plot(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 90) rename(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 31)   Change self so it prints as x, where x is a string.   \note{This is \emph{only} supported for Python classes that derive from SageObject.}   EXAMPLES:     sage: x = PolynomialRing(QQ,'x').gen()     sage: g = x^3 + x - 5     sage: g     x^3 + x - 5     sage: g.rename('a polynomial')     sage: g     a polynomial     sage: g + x     x^3 + 2*x - 5     sage: h = g^100     sage: str(h)[:20]     'x^300 + 100*x^298 - '     sage: h.rename('x^300 + ...')     sage: h     x^300 + ...   Real numbers are not Python classes, so rename is not supported:     sage: a = 3.14     sage: type(a)     <type 'sage.rings.real_mpfr.RealNumber'>     sage: a.rename('pi')     Traceback (most recent call last):     ...     NotImplementedError: object does not support renaming: 3.14000000000000   \note{The reason C-extension types are not supported is if they were then every single one would have to carry around an extra attribute, which would be slower and waste a lot of memory.} reset_name(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 78) save(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 125)   Save self to the given filename.   EXAMPLES:     sage: f = x^3 + 5     sage: f.save(SAGE_TMP + '/file')     sage: load(SAGE_TMP + '/file.sobj')     x^3 + 5 version(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 108)   The version of \sage.   Call this to save the version of \sage in this object. If you then save and load this object it will know in what version of \sage it was created.   This only works on Python classes that derive from SageObject.   class quad_module_subgroup(sage.groups.group.AbelianGroup)     A subgroup of the underlying group of an ambient quadratic module.     EXAMPLES     sage: p=fqmodule([2,3,10])     sage: U = quad_module_subgroup( [p.0*30])     sage: U.is_isotropic()     True     sage: p1 = U.quotient(); p1     Finite quadratic module ([30, 2, 2], 7/30*x0^2 + 1/2*x0*x1 + 1/2*x1^2 + 1/4*x2^2)       sage: V = p1( matrix( ZZ, 3, 2, range(6))); V     Subgroup generated by [g0 + g1 + g2] of  Finite quadratic module ([30, 2, 2], 7/30*x0^2 + 1/2*x0*x1 + 1/2*x1^2 + 1/4*x2^2) with generators (g0, g1, g2)     W = V.dual(); W     Subgroup generated by [g0*15 + g2, g1 + g2] of  Finite quadratic module ([30, 2, 2], 7/30*x0^2 + 1/2*x0*x1 + 1/2*x1^2 + 1/4*x2^2) with generators (g0, g1, g2)     V.order(), W.order(), p1.order()     sage: V.order(), W.order(), p1.order()     (30, 4, 120)     Method resolution order: quad_module_subgroup sage.groups.group.AbelianGroup sage.groups.group.Group sage.structure.parent_gens.ParentWithGens sage.structure.parent_base.ParentWithBase sage.structure.parent.Parent sage.structure.sage_object.SageObject __builtin__.object Methods defined here: __add__(self, other) __eq__(self, other) __ge__(self, other) __gt__(self, other) __init__(self, gens) Construct the subgroup generated by the list gens of elements of the quadratic module ambient. __le__(self, other) __lt__(self, other) __ne__(self, other) __repr__(self) ambient_quad_module(self) divides(self, B) Return True, if self divides B. dual(self) hnfGens(self) is_isotropic(self) order(self) quotient(self) Data descriptors defined here: __dict__ dictionary for instance variables (if defined) __weakref__ list of weak references to the object (if defined) Methods inherited from sage.groups.group.AbelianGroup: is_abelian(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 114)   Return True. Data and other attributes inherited from sage.groups.group.AbelianGroup: __new__ = <built-in method __new__ of type object at 0x2b509a8a4100> T.__new__(S, ...) -> a new object with type S, a subtype of T __pyx_vtable__ = <PyCObject object at 0xa9dbe8> Methods inherited from sage.groups.group.Group: __call__(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 37)   Coerce x into this group. __contains__(...) x.__contains__(y) <==> y in x __hash__(...) x.__hash__() <==> hash(x) category(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 53)   The category of all groups is_atomic_repr(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 60)   True if the elements of this group have atomic string representations.  For example, integers are atomic but polynomials are not. is_finite(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 81)   Returns True if this group is finite. is_multiplicative(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 87)   Returns True if the group operation is given by * (rather than +).   Override for additive groups. random_element(...) File: sage/groups/group.pyx (starting at line 98)   Return a random element of this group. Methods inherited from sage.structure.parent_gens.ParentWithGens: __getitem__(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 211) __getslice__(...) x.__getslice__(i, j) <==> x[i:j]   Use of negative indices is not supported. __getstate__(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 413) __len__(...) x.__len__() <==> len(x) __setstate__(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 433) gen(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 208) gens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 271)   Return a tuple whose entries are the generators for this object, in order. gens_dict(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 287)   Return a dictionary whose entries are \code{{var_name:variable,...}}. hom(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 462)   Return the unique homomorphism from self to codomain that sends \code{gens()} to the entries of \code{im_gens}. Raises a TypeError if there is no such homomorphism.   INPUT:     im_gens -- the images in the codomain of the generators of                this object under the homomorphism     codomain -- the codomain of the homomorphism     check -- whether to verify that the images of generators extend              to define a map (using only canonical coercisions).   OUTPUT:     a homomorphism self --> codomain   \note{As a shortcut, one can also give an object X instead of \code{im_gens}, in which case return the (if it exists) natural map to X.}   EXAMPLE: Polynomial Ring We first illustrate construction of a few homomorphisms involving a polynomial ring.       sage: R.<x> = PolynomialRing(ZZ)     sage: f = R.hom([5], QQ)     sage: f(x^2 - 19)     6       sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)     sage: f = R.hom([5], GF(7))     Traceback (most recent call last):     ...     TypeError: images do not define a valid homomorphism       sage: R.<x> = PolynomialRing(GF(7))     sage: f = R.hom([3], GF(49,'a'))     sage: f     Ring morphism:       From: Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 7       To:   Finite Field in a of size 7^2       Defn: x |--> 3     sage: f(x+6)     2     sage: f(x^2+1)     3   EXAMPLE: Natural morphism     sage: f = ZZ.hom(GF(5))     sage: f(7)     2     sage: f     Ring Coercion morphism:       From: Integer Ring       To:   Finite Field of size 5   There might not be a natural morphism, in which case a TypeError exception is raised.      sage: QQ.hom(ZZ)     Traceback (most recent call last):     ...     TypeError: Natural coercion morphism from Rational Field to Integer Ring not defined. inject_variables(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 333)   Inject the generators of self with their names into the namespace of the Python code from which this function is called.  Thus, e.g., if the generators of self are labeled 'a', 'b', and 'c', then after calling this method the variables a, b, and c in the current scope will be set equal to the generators of self.   NOTE: If Foo is a constructor for a SAGE object with generators, and Foo is defined in Pyrex, then it would typically call inject_variables() on the object it creates.  E.g., PolyomialRing(QQ, 'y') does this so that the variable y is the generator of the polynomial ring. injvar(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 358)   This is a synonym for inject_variables(...) <<<sage.structure.parent_gens.ParentWithGens.inject_variables>>> latex_name(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 405) latex_variable_names(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 379)   Returns the list of variable names suitable for latex output.   All '_SOMETHING' substrings are replaced by '_{SOMETHING}' recursively so that subscripts of subscripts work.   EXAMPLES:     sage: R, x = PolynomialRing(QQ,'x',12).objgens()     sage: x     (x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11)     sage: print R.latex_variable_names ()     ['x_{0}', 'x_{1}', 'x_{2}', 'x_{3}', 'x_{4}', 'x_{5}', 'x_{6}', 'x_{7}', 'x_{8}', 'x_{9}', 'x_{10}', 'x_{11}']     sage: f = x[0]^3 + 15/3 * x[1]^10     sage: print latex(f)     5 x_{1}^{10} + x_{0}^{3} list(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 220)   Return a list of all elements in this object, if possible (the object must define an iterator). ngens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 204) objgen(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 251)   Return self and the generator of self.   INPUT:     names -- tuple or string   OUTPUT:     self  -- this object     an object -- gen()   EXAMPLES:     sage: R, x = PolynomialRing(QQ,'x').objgen()     sage: R     Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field     sage: x     x objgens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 231)   Return self and the generators of self as a tuple.   INPUT:     names -- tuple or string   OUTPUT:     self  -- this object     tuple -- gens()   EXAMPLES:     sage: R, vars = MPolynomialRing(QQ,3, 'x').objgens()     sage: R     Multivariate Polynomial Ring in x0, x1, x2 over Rational Field     sage: vars     (x0, x1, x2) variable_name(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 402) variable_names(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 374) Methods inherited from sage.structure.parent_base.ParentWithBase: Hom(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 360)   Hom(codomain, cat=None):   Return the homspace \code{Hom(self, codomain, cat)} of all homomorphisms from self to codomain in the category cat.  The default category is \code{category()}.   EXAMPLES:     sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2)     sage: R.Hom(QQ)     Set of Homomorphisms from Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field to Rational Field   Homspaces are defined for very general \sage objects, even elements of familiar rings.     sage: n = 5; Hom(n,7)     Set of Morphisms from 5 to 7 in Category of elements of Integer Ring     sage: z=(2/3); Hom(z,8/1)     Set of Morphisms from 2/3 to 8 in Category of elements of Rational Field   This example illustrates the optional third argument:     sage: QQ.Hom(ZZ, Sets())     Set of Morphisms from Rational Field to Integer Ring in Category of sets base(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 75) base_extend(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 71) base_extend_canonical(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 79)   Returns canonical base extension. NOTE: this function should not be extended. AUTHOR: Gonzalo Tornaria (2007-06-20) base_extend_canonical_sym(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 264)   Symmetric version of base_extend_canonical() NOTE: this function should not be extended. AUTHOR: Gonzalo Tornaria (2007-06-20) base_extend_recursive(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 305)   Returns recursive base extension. NOTE: this function should not be extended. AUTHOR: Gonzalo Tornaria (2007-06-20) base_ring(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 67) Methods inherited from sage.structure.parent.Parent: coerce_map_from(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 131) coerce_map_from_impl(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 165) construction(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 335)   Returns a pair (functor, parent) such that functor(parent) return self.  If this ring does not have a functorial construction, return None. get_action(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 197) get_action_impl(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 218) has_coerce_map_from(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 418) has_coerce_map_from_impl(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 442) init_coerce(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 87) Methods inherited from sage.structure.sage_object.SageObject: db(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 166)   Dumps self into the SAGE database.  Use db(name) by itself to reload.     The database directory is \code{\$HOME/.sage/db} dump(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 147)   Same as save(filename, compress) dumps(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 153)   Dump self to a string s, which can later be reconstituted as self using loads(s). plot(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 90) rename(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 31)   Change self so it prints as x, where x is a string.   \note{This is \emph{only} supported for Python classes that derive from SageObject.}   EXAMPLES:     sage: x = PolynomialRing(QQ,'x').gen()     sage: g = x^3 + x - 5     sage: g     x^3 + x - 5     sage: g.rename('a polynomial')     sage: g     a polynomial     sage: g + x     x^3 + 2*x - 5     sage: h = g^100     sage: str(h)[:20]     'x^300 + 100*x^298 - '     sage: h.rename('x^300 + ...')     sage: h     x^300 + ...   Real numbers are not Python classes, so rename is not supported:     sage: a = 3.14     sage: type(a)     <type 'sage.rings.real_mpfr.RealNumber'>     sage: a.rename('pi')     Traceback (most recent call last):     ...     NotImplementedError: object does not support renaming: 3.14000000000000   \note{The reason C-extension types are not supported is if they were then every single one would have to carry around an extra attribute, which would be slower and waste a lot of memory.} reset_name(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 78) save(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 125)   Save self to the given filename.   EXAMPLES:     sage: f = x^3 + 5     sage: f.save(SAGE_TMP + '/file')     sage: load(SAGE_TMP + '/file.sobj')     x^3 + 5 version(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 108)   The version of \sage.   Call this to save the version of \sage in this object. If you then save and load this object it will know in what version of \sage it was created.   This only works on Python classes that derive from SageObject.   class quad_module_subgroup_container(sage.structure.sage_object.SageObject)     A container class, which contains subgroups of a quad_module.   Access by different methods is possible.   EXAMPLES: EXAMPLES:     sage: T= fqmodule([6,3] )     sage: C=T.enumerate_subgroups()     sage: type(C)     <class '__main__.quad_module_subgroup_container'>     sage: U=C.get_sub_groups_with_det(6)[1]     sage: C.get_subgroups_dividing(U)       [Subgroup generated by [g0, g1] of the Finite quadratic module ([12, 6], 1/24*x0^2 + 1/12*x1^2) with generators (g0, g1).,     Subgroup generated by [g0 + g1, g1*2] of the Finite quadratic module ([12, 6], 1/24*x0^2 + 1/12*x1^2) with generators (g0, g1).,     Subgroup generated by [g0 + g1, g1*3] of the Finite quadratic module ([12, 6], 1/24*x0^2 + 1/12*x1^2) with generators (g0, g1).,     Subgroup generated by [g0 + g1] of the Finite quadratic module ([12, 6], 1/24*x0^2 + 1/12*x1^2) with generators (g0, g1).]     Method resolution order: quad_module_subgroup_container sage.structure.sage_object.SageObject __builtin__.object Methods defined here: __init__(self, ambient, subgroupGenerator) Initialize Container with a generator or a list of the subgroups of ambient.   INPUT:     ambient -- <quad_module> The quadratic module whose subgroups are given by the list L.     subgroupGenerator -- <generator or list>   the subgroups.   EXAMPLES: __iter__(self) __repr__(self) debug(self) get_sub_groups_with_det(self, d=None) Return a list of subgroups with determinant d.   INPUT:     d -- integer (default: None) the determinant. OUTPUT:     list or dictionary -- If d is ommitted return a dictionary D                           with D[d] contains the list of subgroups                           with determinant d.                           Returns an empty list, if there is no                           subgroup with determinant d. get_subgroups_divided_by(self, H) Return a list of subgroups divided by H.   INPUT:     H -- quad_module_subgroup the dividing subgroup.   OUTPUT:     list -- a list of quad_module_subgroup get_subgroups_dividing(self, H) Return a list of subgroups dividing H.   INPUT:     H -- quad_module_subgroup the subgroup, which should be divided by the output.     OUTPUT:     list -- a list of quad_module_subgroup Data descriptors defined here: __dict__ dictionary for instance variables (if defined) __weakref__ list of weak references to the object (if defined) Methods inherited from sage.structure.sage_object.SageObject: __hash__(...) x.__hash__() <==> hash(x) category(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 195) db(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 166)   Dumps self into the SAGE database.  Use db(name) by itself to reload.     The database directory is \code{\$HOME/.sage/db} dump(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 147)   Same as save(filename, compress) dumps(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 153)   Dump self to a string s, which can later be reconstituted as self using loads(s). plot(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 90) rename(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 31)   Change self so it prints as x, where x is a string.   \note{This is \emph{only} supported for Python classes that derive from SageObject.}   EXAMPLES:     sage: x = PolynomialRing(QQ,'x').gen()     sage: g = x^3 + x - 5     sage: g     x^3 + x - 5     sage: g.rename('a polynomial')     sage: g     a polynomial     sage: g + x     x^3 + 2*x - 5     sage: h = g^100     sage: str(h)[:20]     'x^300 + 100*x^298 - '     sage: h.rename('x^300 + ...')     sage: h     x^300 + ...   Real numbers are not Python classes, so rename is not supported:     sage: a = 3.14     sage: type(a)     <type 'sage.rings.real_mpfr.RealNumber'>     sage: a.rename('pi')     Traceback (most recent call last):     ...     NotImplementedError: object does not support renaming: 3.14000000000000   \note{The reason C-extension types are not supported is if they were then every single one would have to carry around an extra attribute, which would be slower and waste a lot of memory.} reset_name(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 78) save(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 125)   Save self to the given filename.   EXAMPLES:     sage: f = x^3 + 5     sage: f.save(SAGE_TMP + '/file')     sage: load(SAGE_TMP + '/file.sobj')     x^3 + 5 version(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 108)   The version of \sage.   Call this to save the version of \sage in this object. If you then save and load this object it will know in what version of \sage it was created.   This only works on Python classes that derive from SageObject. Data and other attributes inherited from sage.structure.sage_object.SageObject: __new__ = <built-in method __new__ of type object at 0x2b508d175b60> T.__new__(S, ...) -> a new object with type S, a subtype of T

Functions
		ComplexDoubleField(...) File: sage/rings/complex_double.pyx (starting at line 1590)   Returns the field of double precision complex numbers.   EXAMPLE:     sage: ComplexDoubleField()     Complex Double Field     sage: ComplexDoubleField() is CDF     True ComplexNumber = create_ComplexNumber(...) File: sage/rings/complex_number.pyx (starting at line 889)   Return the complex number defined by the strings s_real and s_imag as an element of \code{ComplexField(prec=n)}, where n potentially has slightly more (controlled by pad) bits than given by s.   INPUT:     s_real -- a string that defines a real number (or something whose               string representation defines a number)     s_imag -- a string that defines a real number (or something whose               string representation defines a number)                  pad -- an integer >= 0.     min_prec -- number will have at least this many bits of precision, no matter what.   EXAMPLES:     sage: ComplexNumber('2.3')     2.30000000000000     sage: ComplexNumber('2.3','1.1')     2.30000000000000 + 1.10000000000000*I     sage: ComplexNumber(10)     10.0000000000000     sage: ComplexNumber(10,10)     10.0000000000000 + 10.0000000000000*I     sage: ComplexNumber(1.000000000000000000000000000,2)     1.000000000000000000000000000 + 2.000000000000000000000000000*I     sage: ComplexNumber(1,2.000000000000000000000)     1.000000000000000000000 + 2.000000000000000000000*I DWT = WaveletTransform(...) File: sage/gsl/dwt.pyx (starting at line 33)   This function initializes an GSLDoubleArray of length n which can perform a discrete wavelet transform.    INPUT:     n --  a power of 2.     T -- the data in the GSLDoubleArray must be real.      wavelet_type -- the name of the type of wavelet,                      valid choices are:                       'daubechies','daubechies_centered',                      'haar','haar_centered','bspline', and                       'bspline_centered'.    For daubechies wavelets, wavelet_k specifies a daubechie wavelet  with k/2 vanishing moments. k = 4,6,...,20 for k even are the  only ones implemented.  For Haar wavelets, wavelet_k must be 2.  For bspline wavelets, wavelet_k = 103,105,202,204,206,208,301,305, 307,309 will give biorthogonal B-spline wavelets of order (i,j) where wavelet_k=100*i+j.  The wavelet transfrom uses J=log_2(n) levels.   OUTPUT:     An array of the form       (s_{-1,0},d_{0,0},d_{1,0},d_{1,1}, d_{2,0}...,d_{J-1,2^{J-1}-1})      for d_{j,k} the detail coefficients of level j.     The centered forms align the coefficients of the sub-bands on edges.   EXAMPLES:     sage: a = WaveletTransform(128,'daubechies',4)     sage: for i in range(1, 11):     ...    a[i] = 1     ...    a[128-i] = 1     sage: a.plot().show(ymin=0)     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show()     sage: a = WaveletTransform(128,'haar',2)     sage: for i in range(1, 11): a[i] = 1; a[128-i] = 1     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show(ymin=0)     sage: a = WaveletTransform(128,'bspline_centered',103)     sage: for i in range(1, 11): a[i] = 1; a[100+i] = 1     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show(ymin=0)   This example gives a simple example of wavelet compression.     sage: a = DWT(2048,'daubechies',6)     sage: for i in range(2048): a[i]=float(sin((i*5/2048)**2))     sage: a.plot().show()     sage: a.forward_transform()     sage: for i in range(1800): a[2048-i-1] = 0     sage: a.backward_transform()     sage: a.plot().show() FFT = FastFourierTransform(...) File: sage/gsl/fft.pyx (starting at line 34)   EXAMPLES:     sage: a = FastFourierTransform(128)     sage: for i in range(1, 11):     ...    a[i] = 1     ...    a[128-i] = 1     sage: a.plot().show(ymin=0)     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show() FastFourierTransform(...) File: sage/gsl/fft.pyx (starting at line 34)   EXAMPLES:     sage: a = FastFourierTransform(128)     sage: for i in range(1, 11):     ...    a[i] = 1     ...    a[128-i] = 1     sage: a.plot().show(ymin=0)     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show() ForgetfulFunctor(...) File: sage/categories/functor.pyx (starting at line 135)   Construct the forgetful function from one category to another.   EXAMPLES:     sage: rings = Rings()     sage: abgrps = AbelianGroups()     sage: F = ForgetfulFunctor(rings, abgrps)     sage: F     The forgetful functor from Rings to AbelianGroups HeilbronnCremonaList(...) File: sage/modular/modsym/heilbronn.pyx (starting at line 44)   The Heilbronn matrices of determinant p, as defined by Cremona. HeilbronnMerelList(...) File: sage/modular/modsym/heilbronn.pyx (starting at line 77)   Set of Heilbronn matrices of determinant n, as defined by Merel. IdentityFunctor(...) File: sage/categories/functor.pyx (starting at line 132) IntegerMod(...) File: sage/rings/integer_mod.pyx (starting at line 102)   Create an integer modulo $n$ with the given parent.   This is mainly for internal use. IntegerRing(...) File: sage/rings/integer_ring.pyx (starting at line 646) Mod(...) File: sage/rings/integer_mod.pyx (starting at line 75)   Return the equivalence class of n modulo m as an element of $\Z/m\Z$.   EXAMPLES:     sage: x = Mod(12345678, 32098203845329048)     sage: x     12345678     sage: x^100     1017322209155072   You can also use the lowercase version:     sage: mod(12,5)     2 PowComputer(...) File: sage/rings/padics/pow_computer.pyx (starting at line 275)   Returns a PowComputer that caches the values $1, m, m^2, \ldots, m^cache_limit$.   Once you create a PowComputer, merely call it to get values out. You can input any integer, even if it's outside of the precomputed range.   INPUT: m -- An integer, the base that you want to exponentiate. cache_limit -- A positive integer that you want to cache powers up to.   EXAMPLES: sage: PC = PowComputer(3, 5, 10) sage: PC(4) 81 sage: PC(6) 729 sage: PC(-1) 1/3 RealDoubleField(...) File: sage/rings/real_double.pyx (starting at line 1517) RealInterval(...) File: sage/rings/real_mpfi.pyx (starting at line 2765)   Return the real number defined by the string s as an element of \code{RealIntervalField(prec=n)}, where n potentially has slightly more (controlled by pad) bits than given by s.   INPUT:     s -- a string that defines a real number (or something whose          string representation defines a number)     upper -- (default: None) -- upper endpoint of interval if given, in          which case s is the lower endpoint.      base -- an integer between 2 and 36     pad -- an integer >= 0.     min_prec -- number will have at least this many bits of                 precision, no matter what.   EXAMPLES:     sage: RealInterval('2.3')     [2.2999999999999998 .. 2.3000000000000003]     sage: RealInterval(10)     [10.000000000000000 .. 10.000000000000000]     sage: RealInterval('1.0000000000000000000000000000000000')     [1.000000000000000000000000000000000000 .. 1.000000000000000000000000000000000000]     sage: RealInterval(29308290382930840239842390482, 3^20)     [3486784401.00000000000000000000 .. 29308290382930840239842390482.0] RealNumber = create_RealNumber(...) File: sage/rings/real_mpfr.pyx (starting at line 2963)   Return the real number defined by the string s as an element of \code{RealField(prec=n)}, where n potentially has slightly more (controlled by pad) bits than given by s.   INPUT:     s -- a string that defines a real number (or something whose          string representation defines a number)     base -- an integer between 2 and 36     pad -- an integer >= 0.     rnd -- rounding mode: RNDN, RNDZ, RNDU, RNDD     min_prec -- number will have at least this many bits of precision, no matter what.   EXAMPLES:     sage: RealNumber('2.3')     2.30000000000000     sage: RealNumber(10)     10.0000000000000     sage: RealNumber('1.0000000000000000000000000000000000')     1.0000000000000000000000000000000000 RealQuadDoubleField(...) File: sage/rings/real_rqdf.pyx (starting at line 1735) WaveletTransform(...) File: sage/gsl/dwt.pyx (starting at line 33)   This function initializes an GSLDoubleArray of length n which can perform a discrete wavelet transform.    INPUT:     n --  a power of 2.     T -- the data in the GSLDoubleArray must be real.      wavelet_type -- the name of the type of wavelet,                      valid choices are:                       'daubechies','daubechies_centered',                      'haar','haar_centered','bspline', and                       'bspline_centered'.    For daubechies wavelets, wavelet_k specifies a daubechie wavelet  with k/2 vanishing moments. k = 4,6,...,20 for k even are the  only ones implemented.  For Haar wavelets, wavelet_k must be 2.  For bspline wavelets, wavelet_k = 103,105,202,204,206,208,301,305, 307,309 will give biorthogonal B-spline wavelets of order (i,j) where wavelet_k=100*i+j.  The wavelet transfrom uses J=log_2(n) levels.   OUTPUT:     An array of the form       (s_{-1,0},d_{0,0},d_{1,0},d_{1,1}, d_{2,0}...,d_{J-1,2^{J-1}-1})      for d_{j,k} the detail coefficients of level j.     The centered forms align the coefficients of the sub-bands on edges.   EXAMPLES:     sage: a = WaveletTransform(128,'daubechies',4)     sage: for i in range(1, 11):     ...    a[i] = 1     ...    a[128-i] = 1     sage: a.plot().show(ymin=0)     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show()     sage: a = WaveletTransform(128,'haar',2)     sage: for i in range(1, 11): a[i] = 1; a[128-i] = 1     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show(ymin=0)     sage: a = WaveletTransform(128,'bspline_centered',103)     sage: for i in range(1, 11): a[i] = 1; a[100+i] = 1     sage: a.forward_transform()     sage: a.plot().show(ymin=0)   This example gives a simple example of wavelet compression.     sage: a = DWT(2048,'daubechies',6)     sage: for i in range(2048): a[i]=float(sin((i*5/2048)**2))     sage: a.plot().show()     sage: a.forward_transform()     sage: for i in range(1800): a[2048-i-1] = 0     sage: a.backward_transform()     sage: a.plot().show() add = sum(...) sum(sequence, start=0) -> value   Returns the sum of a sequence of numbers (NOT strings) plus the value of parameter 'start'.  When the sequence is empty, returns start. allocatemem(...) File: sage/libs/pari/gen.pyx (starting at line 5943)   Double the \emph{PARI} stack. bernoulli_mod_p(...) File: sage/rings/bernoulli_mod_p.pyx (starting at line 85)   Returns the bernoulli numbers $B_0, B_2, ... B_{p-3}$ modulo $p$.   INPUT:     p -- integer, a prime   OUTPUT:     list -- Bernoulli numbers modulo $p$ as a list             of integers [B(0), B(2), ... B(p-3)].   ALGORITHM:     Described in accompanying latex file.   PERFORMANCE:     Should be complexity $O(p \log p)$.   EXAMPLES: Check the results against PARI's C-library implemention (that computes exact rationals) for $p = 37$:       sage: bernoulli_mod_p(37)      [1, 31, 16, 15, 16, 4, 17, 32, 22, 31, 15, 15, 17, 12, 29, 2, 0, 2]     sage: [bernoulli(n) % 37 for n in xrange(0, 36, 2)]      [1, 31, 16, 15, 16, 4, 17, 32, 22, 31, 15, 15, 17, 12, 29, 2, 0, 2]   Boundary case:     sage: bernoulli_mod_p(3)      [1]      AUTHOR:     -- David Harvey (2006-08-06) bernoulli_mod_p_single(...) File: sage/rings/bernoulli_mod_p.pyx (starting at line 211)   Returns the bernoulli number $B_k$ mod $p$.   INPUT:     p -- integer, a prime     k -- even integer in the range $0 \leq k \leq p-3$   OUTPUT:     The $k$-th bernoulli number mod $p$.   ALGORITHM:     Uses the identity       $$ (1-g^k) B_k/k = 2\sum_{r=1}^{(p-1)/2} g^{r(k-1)} ( [g^r/p] - g [g^(r-1)/p] + (g-1)/2 ), $$     where $g$ is a primitive root mod $p$, and where square brackets     denote the fractional part. This identity can be derived from     Theorem 2.3, chapter 2 of Lang's book "Cyclotomic fields".   PERFORMANCE:     Linear in $p$. In particular the running time doesn't depend on k.          It's much faster than computing *all* bernoulli numbers by using     bernoulli_mod_p(). For p = 1000003, the latter takes about 3s on my     laptop, whereas this function takes only 0.06s.          It may or may not be faster than computing literally bernoulli(k) % p,     depending on how big k and p are relative to each other. For example on     my laptop, computing bernoulli(2000) % p only takes 0.01s. But     computing bernoulli(100000) % p takes 40s, whereas this function still     takes only 0.06s.   EXAMPLES:     sage: bernoulli_mod_p_single(1009, 48)     628     sage: bernoulli(48) % 1009     628          sage: bernoulli_mod_p_single(1, 5)     Traceback (most recent call last):     ...     ValueError: p (=1) must be a prime >= 3          sage: bernoulli_mod_p_single(100, 4)     Traceback (most recent call last):     ...     ValueError: p (=100) must be a prime          sage: bernoulli_mod_p_single(19, 5)     Traceback (most recent call last):     ...     ValueError: k (=5) must be even          sage: bernoulli_mod_p_single(19, 18)     Traceback (most recent call last):     ...     ValueError: k (=18) must be non-negative, and at most p-3          sage: bernoulli_mod_p_single(19, -4)     Traceback (most recent call last):     ...     ValueError: k (=-4) must be non-negative, and at most p-3   Check results against bernoulli_mod_p:       sage: bernoulli_mod_p(37)      [1, 31, 16, 15, 16, 4, 17, 32, 22, 31, 15, 15, 17, 12, 29, 2, 0, 2]     sage: [bernoulli_mod_p_single(37, n) % 37 for n in xrange(0, 36, 2)]      [1, 31, 16, 15, 16, 4, 17, 32, 22, 31, 15, 15, 17, 12, 29, 2, 0, 2]       sage: bernoulli_mod_p(31)      [1, 26, 1, 17, 1, 9, 11, 27, 14, 23, 13, 22, 14, 8, 14]     sage: [bernoulli_mod_p_single(31, n) % 31 for n in xrange(0, 30, 2)]      [1, 26, 1, 17, 1, 9, 11, 27, 14, 23, 13, 22, 14, 8, 14]       sage: bernoulli_mod_p(3)      [1]     sage: [bernoulli_mod_p_single(3, n) % 3 for n in xrange(0, 2, 2)]      [1]       sage: bernoulli_mod_p(5)      [1, 1]     sage: [bernoulli_mod_p_single(5, n) % 5 for n in xrange(0, 4, 2)]      [1, 1]       sage: bernoulli_mod_p(7)      [1, 6, 3]     sage: [bernoulli_mod_p_single(7, n) % 7 for n in xrange(0, 6, 2)]      [1, 6, 3]       AUTHOR:     -- David Harvey (2007-08-31) bin_op(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2643) canonical_coercion(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2622)   canonical_coercion(x,y) is what is called before doing an arithmetic operation between x and y.  It returns a pair (z,w) such that z is got from x and w from y via canonical coercion and the parents of z and w are identical.   EXAMPLES:     sage: A = Matrix([[0,1],[1,0]])     sage: canonical_coercion(A,1)     ([0 1]     [1 0], [1 0]     [0 1]) clear_vars(...) File: sage/calculus/var.pyx (starting at line 113)   Delete all 1-letter symbolic variables that are predefined at startup of SAGE.  Any one-letter global variables that are not symbolic variables are not cleared.   EXAMPLES:     sage: var('x y z')     (x, y, z)     sage: (x+y)^z     (y + x)^z     sage: k = 15     sage: clear_vars()     sage: (x+y)^z     Traceback (most recent call last):     ...     NameError: name 'x' is not defined     sage: expand((e + i)^2)     2*e*I + e^2 - 1     sage: k     15 crt_basis(...) File: sage/rings/integer_ring.pyx (starting at line 658)   Compute and return a Chinese Remainder Theorem basis for the list X of coprime integers.   INPUT:     X -- a list of Integers that are coprime in pairs OUTPUT:     E -- a list of Integers such that E[i] = 1 (mod X[i])          and E[i] = 0 (mod X[j]) for all j!=i.   The E[i] have the property that if A is a list of objects, e.g., integers, vectors, matrices, etc., where A[i] is moduli X[i], then a CRT lift of A is simply                    sum E[i] * A[i].   ALGORITHM: To compute E[i], compute integers s and t such that               s * X[i] + t * (prod over i!=j of X[j]) = 1.   (*)   Then E[i] = t * (prod over i!=j of X[j]).  Notice that equation (*) implies that E[i] is congruent to 1 modulo X[i] and to 0 modulo the other X[j] for j!=i.   COMPLEXITY: We compute len(X) extended GCD's.   EXAMPLES:     sage: X = [11,20,31,51]     sage: E = crt_basis([11,20,31,51])     sage: E[0]%X[0]; E[1]%X[0]; E[2]%X[0]; E[3]%X[0]     1     0     0     0     sage: E[0]%X[1]; E[1]%X[1]; E[2]%X[1]; E[3]%X[1]     0     1     0     0     sage: E[0]%X[2]; E[1]%X[2]; E[2]%X[2]; E[3]%X[2]     0     0     1     0     sage: E[0]%X[3]; E[1]%X[3]; E[2]%X[3]; E[3]%X[3]     0     0     0     1 cython(...) File: sage/misc/cython_c.pyx (starting at line 4)   Given a block of CYTHON (SAGE's variant of Pyrex) code (as a text string), this function compiles it using your C compiler, and includes it into the global scope of the module that called this function.   WARNING: Only use this from Python code, not from extension code, since from extension code you would change the global scope (i.e., of the SAGE interpreter). And it would be stupid, since you're already writing Cython!   Also, never use this in the standard SAGE library.  Any code that uses this can only run on a system that has a C compiler installed, and we want to avoid making that assumption for casual SAGE usage.  Also, any code that uses this in the library would greatly slow down startup time, since currently there is no caching.   AUTHOR: William Stein, 2006-10-31   TODO: Need to create a clever caching system so code only gets compiled once. dumps(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 488)   dumps(obj):   Dump obj to a string s.  To recover obj, use loads(s).   EXAMPLES:     sage: a = 2/3     sage: s = dumps(a)     sage: print len(s)     49     sage: loads(s)     2/3 expnums(...) File: sage/combinat/expnums.pyx (starting at line 17)   Compute the first $n$ exponential numbers around $aa$, starting with the zero-th.   INPUT:      n -- C machine int      aa -- C machine int   OUTPUT:      A list of length $n$.   ALGORITHM: We use the same integer addition algorithm as GAP. This is an extension of Bell's triangle to the general case of exponential numbers.  The recursion performs $O(n^2)$ additions, but the running time is dominated by the cost of the last integer addition, because the growth of the integer results of partial computations is exponential in $n$.  The algorithm stores $O(n)$ integers, but each is exponential in $n$.   EXAMPLES:     sage: expnums(10, 1)     [1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147]       sage: expnums(10, -1)     [1, -1, 0, 1, 1, -2, -9, -9, 50, 267]       sage: expnums(1, 1)     [1]     sage: expnums(0, 1)     []     sage: expnums(-1, 0)     []   AUTHOR:     -- Nick Alexander fqmodule(arg0=None, arg1=None, **args) Create an instance of the class quad_module.   INPUT Supported formats     1. fgmodule():            the trivial quadratic module       2. fgmodule( list):           discriminant module constructed from the diagonal matrix           with the integers in list on its diagonal.       3. fgmodule( matrix):            discriminant   module   constructed   from  a   regular            symmetric half integral matrix.       4. fgmodule( list_of_orders, list_of_coeffs):            for a list of orders $[e_i]$  of size $n$ and a list of            coeficients $[a_{ij}]$, the quadratic module            $(\ZZ/e_1\times\cdots\times\ZZ/e_n,class(x)\mapsto\sum_{i\le j} a_{ij} x_i x_j)$.       5. fgmodule( list_of_orders, Gram_matrix):            for  a  list  of  orders  $[e_i]$ of  size  $n$  and  a            symmetric matric $G$, the quadratic module            $(\ZZ/e_1 \times \cdots \times \ZZ/e_n, class(x) \mapsto G[x] + \ZZ)$.       6. fgmodule( matrix, list_of_coeffs):            for a matrix $M$ of  size $n$ and a list of coeficients            $[a_{ij}]$, the quadratic module            $(\ZZ^n/M\ZZ^n, x+M\ZZ^n \mapsto \sum_{i\le j} a_{ij} x_i x_j)$.       7. fgmodule( matrix, Gram_matrix):            for  a  matrix $M$  and  a  symmetric  matric $G$,  the            quadratic module $(\ZZ^n/M\ZZ^n, x+M\ZZ^n \mapsto G[x] + \ZZ)$.       ( --- Hatice: ---     8. fgmodule( number_field_element)            For a nonzero $\omega$ in a numberfield $K$,            the quadratic module $(\ZZ_K/A, x+A \mapsto tr( \omega x^2) + \ZZ)$,            where $A$ is determined by            $\omega D^{-1} = B/A$ with relatively prime ideals $A$, $B$,            and with $D$ denoting the different of $K$.     )   EXAMPLES     sage: phi0 = fqmodule(); phi0     Finite quadratic module ([1],0)       sage: phi1 = fqmodule([2,5]); phi1     Finite quadratic module ([20, 2],7/40*x0^2 + 1/2*x0*x1 + 1/4*x1^2)       sage: F=matrix(3,3,[1,1/2,3/2,1/2,2,1/2,3/2,1/2,1]); F       [  1 1/2 3/2]     [1/2   2 1/2]     [3/2 1/2   1]     sage: phi2 = fqmodule(F); phi2     Finite quadratic module ([18],29/36*x^2)       sage: phi3 = fqmodule([3,4,30],[1/3,0,1/3,1/8,5/2,7/60]); phi3     Finite quadratic module ([60, 6],49/120*x0^2 + 1/3*x0*x1 + 11/12*x1^2) free_module_element = vector(...) File: sage/modules/free_module_element.pyx (starting at line 100)   Return a vector over R with given entries.   CALL FORMATS:     1. vector(object)     2. vector(ring, object)     3. vector(object, ring)     4. vector(numpy_array)   In each case, give sparse=[True|False] as an option.      INPUT:     elts -- entries of a vector (either a list or dict).     R -- ring     sparse -- optional      OUTPUT:     An element of the free module over R of rank len(elts).    EXAMPLES:     sage: v = vector([1,2,3]); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Ambient free module of rank 3 over the principal ideal domain Integer Ring     sage: v = vector([1,2,3/5]); v     (1, 2, 3/5)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field   All entries must \emph{canonically} coerce to some common ring:     sage: v = vector([17, GF(11)(5), 19/3]); v     Traceback (most recent call last):     ...     TypeError: unable to find a common ring for all elements          sage: v = vector([17, GF(11)(5), 19]); v     (6, 5, 8)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Finite Field of size 11     sage: v = vector([17, GF(11)(5), 19], QQ); v     (17, 5, 19)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field     sage: v = vector((1,2,3), QQ); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field     sage: v = vector(QQ, (1,2,3)); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field     sage: v = vector(vector([1,2,3])); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Ambient free module of rank 3 over the principal ideal domain Integer Ring   You can also use \code{free_module_element}, which is the same as \code{vector}.     sage: free_module_element([1/3, -4/5])     (1/3, -4/5)   Make a vector mod 3 out of a vector over ZZ:     sage: vector(vector([1,2,3]), GF(3))     (1, 2, 0)   Any 1 dimensional numpy array of type float or complex may be passed to vector. The result will vector in the appropriate dimensional vector space over the real double field or the complex double field. The data in the array must be contiguous so columnwise slices of numpy matrices will rase an exception.   sage: import numpy sage: x=numpy.random.randn(10) sage: y=vector(x) sage: v=numpy.random.randn(10)*numpy.complex(0,1) sage: w=vector(v) function(...) File: sage/calculus/var.pyx (starting at line 62)   Create a formal symbolic function with the name \emph{s}.   INPUT:     s -- a string, either a single variable name,          or a space or comma separated list of          variable names.   NOTE: The new function is both returned and automatically injected into the global namespace.  If you use var in library code, it is better to use sage.calculus.calculus.function, since it won't touch the global namespace.   EXAMPLES: We create a formal function called supersin.     sage: f = function('supersin', x)     sage: f     supersin(x)   We can immediately use supersin in symbolic expressions:     sage: y, z, A = var('y z A')     sage: supersin(y+z) + A^3     A^3 + supersin(z + y)   We can define other functions in terms of supersin.     sage: g(x,y) = supersin(x)^2 + sin(y/2)     sage: g     (x, y) |--> sin(y/2) + supersin(x)^2     sage: g.diff(y)     (x, y) |--> cos(y/2)/2     sage: g.diff(x)     (x, y) |--> 2*supersin(x)*diff(supersin(x), x, 1)     sage: k = g.diff(x); k     (x, y) |--> 2*supersin(x)*diff(supersin(x), x, 1)     sage: k.substitute(supersin=sin)     2*cos(x)*sin(x) getrandbits(...) getrandbits(k) -> x.  Generates a long int with k random bits. inject_off(...) File: sage/ext/interactive_constructors_c.pyx (starting at line 84) inject_on(...) File: sage/ext/interactive_constructors_c.pyx (starting at line 15)   Replace several constructors by versions that inject their variables into the global namespace.   INPUT:     verbose -- (default: True) if True, print which constructors                become interactive, and also print variables as                they are implicitly defined.   EXAMPLES:     sage: inject_on(verbose=True)     Redefining: Frac FreeMonoid GF FractionField FiniteField PolynomialRing quotient NumberField LaurentSeriesRing quo      sage: GF(9,'b')     Defining b     Finite Field in b of size 3^2     sage: b^3     2*b + 1     sage: inject_off()     sage: GF(9,'c')     Finite Field in c of size 3^2     sage: c^3     Traceback (most recent call last):     ...     NameError: name 'c' is not defined     sage: inject_on(verbose=False)     sage: GF(9,'c')     Finite Field in c of size 3^2     sage: c^3             2*c + 1   ROLL YOUR OWN: If a constructor you would like to auto inject variables isn't made to do so by running this command your options are:      (1) Make your own constructor (factory function) using the explicit          inject_variables() method.  This is *very* easy:                       sage: def poly(*args, **kwds):             ...    R = PolynomialRing(*args, **kwds)             ...    R.inject_variables()             ...    return R             sage: R = poly(QQ, 'z')             Defining z             sage: z^3 + 3             z^3 + 3        (2) Add code to do it to devel/sage/sage/ext/interactive_constructors_c.pyx,          rebuild SAGE (with sage -br), and send William Stein a patch :-). integral_numerical = numerical_integral(...) File: sage/gsl/integration.pyx (starting at line 59)   Returns the numerical integral of the function on the interval from xmin to xmax and an error bound.    EXAMPLES:    To integrate the function $x^2$ from 0 to 1, we do        sage: numerical_integral(lambda x: x^2, 0, 1, max_points=100)        (0.33333333333333331, 3.7007434154171879e-15)      To integrate the function $\sin(x)^3 + \sin(x)$ we do       sage: numerical_integral(lambda x: sin(x)^3 + sin(x),  0, pi)       (3.333333333333333, 3.7007434154171883e-14)      We check this with a symbolic integration:       sage: (sin(x)^3+sin(x)).integral(x,0,pi)       10/3   INPUT:    -- a, b: The interval of integration, specified as two numbers             or a as a tuple/list with the first element the lower bound             and the second element the upper bound.  Use             '+inf' and '-inf' for plus or minus infinity.    -- algorithm: valid choices are                  'qag' -- for an adaptive integration                  'qng' -- for a non-adaptive gauss kronrod (samples at a maximum of 87pts)    -- max_points: sets the maximum number of sample points    -- params: used to pass parameters to your function    -- eps_abs, eps_rel: absolute and relative error tolerances    -- rule: This controls the Gauss-Kronrod rule used in the adaptive integration             rule=1: 15 pt rule             rule=2: 21 pt rule             rule=3: 31 pt rule             rule=4: 41 pt rule             rule=5: 51 pt rule             rule=6: 61 pt rule       Higher key values are more accurate for smooth functions but lower       key values deal better with discontinuities.   OUTPUT:     numerical_integral returns a tuple whose first component is     the answer and whose second component is an error estimate.   REMARK:     There is also a method \code{nintegral} on symbolic expressions     that implements numerical integration using Maxima.  It is potentially     very useful for symbolic expressions.     MORE EXAMPLES: If we want to change the error tolerances and gauss rule used     sage: f = lambda x: x^2     sage: numerical_integral(f, 0, 1, max_points=200, eps_abs=1e-7, eps_rel=1e-7, rule=4)     (0.33333333333333331, 3.7007434154171879e-15)   For a Python function with parameters:    sage: f = lambda x, a:1.0/(a[0]+x**2)    sage: [numerical_integral(f, 1, 2, max_points=100, params=[n]) for n in range(10)]   # slightly random output (architecture and os dependent)    [(0.49999999999998657, 5.5511151231256336e-15),     (0.32175055439664557, 3.5721487367706477e-15),     (0.24030098317249229, 2.6678768435816325e-15),     (0.19253082576711697, 2.1375215571674764e-15),     (0.16087527719832367, 1.7860743683853337e-15),     (0.13827545676349412, 1.5351659583939151e-15),     (0.12129975935702741, 1.3466978571966261e-15),     (0.10806674191683065, 1.1997818507228991e-15),     (0.09745444625548845, 1.0819617008493815e-15),     (0.088750683050217577, 9.8533051773561173e-16)]          Note the parameters are always a tuple even if they have one component.   It is possible to perform on infinite intervals as well by using 'inf' or '-inf' in the interval argument. For example,     sage: f = lambda x: float(exp(RR(-x)))     sage: numerical_integral(f, 0, 'inf')       # slightly random output     (0.99999999999957279, 1.8429811298996553e-07)      Note the coercion to the real field RR, which prevents underflow.       sage: f = lambda x: float(exp(RR(-x**2)))     sage: numerical_integral(f,'-inf', 'inf')           # slightly random output     (1.7724538509060035, 3.4295192165889879e-08)   One can integrate any real-valued callable function:     sage: numerical_integral(lambda x: abs(zeta(x)), [1.1,1.5])           # slightly random output     (1.8488570602160455, 2.052643677492633e-14)   We can also numerically integrate symbolic expressions using either this function (which uses GSL) or the native integration (which uses Maxima):     sage: exp(-1/x).nintegral(x, 1, 2)   # via maxima     (0.50479221787318396, 5.6043194293440752e-15, 21, 0)     sage: numerical_integral(exp(-1/x), 1, 2)     (0.50479221787318407, 5.6043194293440744e-15)      IMPLEMENTATION NOTES:     Uses calls to the GSL -- the GNU Scientific Library -- C library.   AUTHORS:     -- Josh Kantor     -- William Stein is_AdditiveGroupElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1143)   Return True if x is of type AdditiveGroupElement. is_AlgebraElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2580)   Return True if x is of type AlgebraElement. is_CommutativeAlgebraElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2589)   Return True if x is of type CommutativeAlgebraElement. is_CommutativeRingElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1601)   Return True if x is of type CommutativeRingElement. is_ComplexDoubleElement(...) File: sage/rings/complex_double.pyx (starting at line 348) is_ComplexNumber(...) File: sage/rings/complex_number.pyx (starting at line 39) is_DedekindDomainElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2127)   Return True if x is of type DedekindDomainElement. is_Element(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 247)   Return True if x is of type Element.   EXAMPLES:     sage: is_Element(2/3)     True     sage: is_Element(QQ^3)     False is_EuclideanDomainElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2176)   Return True if x is of type EuclideanDomainElement. is_Field(...) File: sage/rings/ring.pyx (starting at line 963)   Return True if x is a field.   EXAMPLES:     sage: is_Field(QQ)     True     sage: is_Field(ZZ)     False     sage: is_Field(pAdicField(2))     True     sage: is_Field(5)     False is_FieldElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2238)   Return True if x is of type FieldElement. is_FiniteField(...) File: sage/rings/ring.pyx (starting at line 1572)   Return True if x is of type finite field, and False otherwise.   EXAMPLES:     sage: is_FiniteField(GF(9,'a'))     True     sage: is_FiniteField(GF(next_prime(10^10)))     True   Note that the integers modulo n are not of type finite field, so this function returns False:     sage: is_FiniteField(Integers(7))     False is_FreeModuleElement(...) File: sage/modules/free_module_element.pyx (starting at line 97) is_Functor(...) File: sage/categories/functor.pyx (starting at line 76) is_InfinityElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2598)   Return True if x is of type InfinityElement. is_Integer(...) File: sage/rings/integer.pyx (starting at line 165)   Return true if x is of the SAGE integer type.   EXAMPLES:     sage: is_Integer(2)     True     sage: is_Integer(2/1)     False     sage: is_Integer(int(2))     False     sage: is_Integer(long(2))     False     sage: is_Integer('5')     False is_IntegerMod(...) File: sage/rings/integer_mod.pyx (starting at line 128)   Return try if and only if x is an integer modulo n.   EXAMPLES:     sage: is_IntegerMod(5)     False     sage: is_IntegerMod(Mod(5,10))     True is_IntegralDomainElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2116)   Return True if x is of type IntegralDomainElement. is_LaurentSeries(...) File: sage/rings/laurent_series_ring_element.pyx (starting at line 61) is_MPolynomialRing(...) File: sage/rings/polynomial/multi_polynomial_ring_generic.pyx (starting at line 13) is_Matrix(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2113) is_Module(...) File: sage/modules/module.pyx (starting at line 65)   Return True if x is a module.   EXAMPLES:     sage: M = FreeModule(RationalField(),30)     sage: is_Module(M)     True     sage: is_Module(10)     False is_ModuleElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 666)   Return True if x is of type ModuleElement.   This is even faster than using isinstance inline.    EXAMPLES:     sage: is_ModuleElement(2/3)     True     sage: is_ModuleElement((QQ^3).0)     True     sage: is_ModuleElement('a')     False is_MonoidElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1059)   Return True if x is of type MonoidElement. is_Morphism(...) File: sage/categories/morphism.pyx (starting at line 42) is_MultiplicativeGroupElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1176)   Return True if x is of type MultiplicativeGroupElement. is_NumberField(...) File: sage/rings/number_field/number_field_base.pyx (starting at line 10)   Return True if x is of number field type.   EXAMPLES:     sage: is_NumberField(NumberField(x^2+1,'a'))     True     sage: is_NumberField(QuadraticField(-97,'theta'))     True     sage: is_NumberField(CyclotomicField(97))     True   Note that the rational numbers QQ are a number field.      sage: is_NumberField(QQ)     True     sage: is_NumberField(ZZ)     False is_NumberFieldElement(...) File: sage/rings/number_field/number_field_element.pyx (starting at line 71)   Return True if x is of type NumberFieldElement, i.e., an element of a number field.   EXAMPLES:     sage: is_NumberFieldElement(2)     False     sage: k.<a> = NumberField(x^7 + 17*x + 1)     sage: is_NumberFieldElement(a+1)     True is_Parent(...) File: sage/structure/parent.pyx (starting at line 33)   Return True if x is a parent object, i.e., derives from sage.structure.parent.Parent and False otherwise.   EXAMPLES:     sage: is_Parent(2/3)     False     sage: is_Parent(ZZ)     True     sage: is_Parent(Primes())     True is_ParentWithAdditiveAbelianGens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 81)   Return True if x is a parent object with additive abelian generators, i.e., derives from sage.structure.parent.ParentWithAdditiveAbelianGens and False otherwise.   EXAMPLES:     sage: is_ParentWithAdditiveAbelianGens(QQ)     False     sage: is_ParentWithAdditiveAbelianGens(QQ^3)     True is_ParentWithBase(...) File: sage/structure/parent_base.pyx (starting at line 36)   Return True if x is a parent object with base. is_ParentWithGens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 66)   Return True if x is a parent object with generators, i.e., derives from sage.structure.parent.ParentWithGens and False otherwise.   EXAMPLES:     sage: is_ParentWithGens(QQ['x'])     True     sage: is_ParentWithGens(CC)     True     sage: is_ParentWithGens(Primes())     False is_ParentWithMultiplicativeAbelianGens(...) File: sage/structure/parent_gens.pyx (starting at line 96)   Return True if x is a parent object with additive abelian generators, i.e., derives from sage.structure.parent.ParentWithMultiplicativeAbelianGens and False otherwise.   EXAMPLES:     sage: is_ParentWithMultiplicativeAbelianGens(QQ)     False     sage: is_ParentWithMultiplicativeAbelianGens(DirichletGroup(11))     True is_Polynomial(...) File: sage/rings/polynomial/polynomial_element.pyx (starting at line 67) is_PowerSeries(...) File: sage/rings/power_series_ring_element.pyx (starting at line 111) is_PrincipalIdealDomainElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 2136)   Return True if x is of type PrincipalIdealDomainElement. is_RealDoubleElement(...) File: sage/rings/real_double.pyx (starting at line 1522) is_RealField(...) File: sage/rings/real_mpfr.pyx (starting at line 3008) is_RealIntervalField(...) File: sage/rings/real_mpfi.pyx (starting at line 2803) is_RealIntervalFieldElement(...) File: sage/rings/real_mpfi.pyx (starting at line 2806) is_RealNumber(...) File: sage/rings/real_mpfr.pyx (starting at line 3011)   Return True if x is of type RealNumber, meaning that it is an element of the MPFR real field with some precision.   EXAMPLES:     sage: is_RealNumber(2.5)     True     sage: is_RealNumber(float(2.3))     False     sage: is_RealNumber(RDF(2))     False     sage: is_RealNumber(pi)     False is_Ring(...) File: sage/rings/ring.pyx (starting at line 1624)   Return true if x is a ring.   EXAMPLES:     sage: is_Ring(ZZ)     True is_RingElement(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1231)   Return True if x is of type RingElement. is_RingHomomorphism(...) File: sage/rings/morphism.pyx (starting at line 338) is_Vector(...) File: sage/structure/element.pyx (starting at line 1917) is_VectorSpace(...) File: sage/modules/module.pyx (starting at line 78)   Return True if x is a vector space.   EXAMPLES:     sage: M = FreeModule(RationalField(),30)     sage: is_VectorSpace(M)     True     sage: M = FreeModule(IntegerRing(),30)     sage: is_Module(M)     True     sage: is_VectorSpace(M)     False jumpahead(...) jumpahead(int) -> None.  Create new state from existing state and integer. lift_to_sl2z(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 617)   Return a list of Python ints [a,b,c',d'] that are the entries of a 2x2 matrix with determinant 1 and lower two entries congruent to c,d modulo N.   EXAMPLES:     sage: lift_to_sl2z(2,3,6)     [1, 1, 2, 3]     sage: lift_to_sl2z(15,6,24)     [-2, -17, 15, 126]     sage: lift_to_sl2z(15,6,2400000)     [-2L, -320001L, 15L, 2400006L] lift_to_sl2z_int(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 507)   Lift a pair (c, d) to an element of SL(2, Z)   (c,d) is assumed to be an element of P1(Z/NZ).  This function computes and returns a list [a, b, c', d'] that defines a 2x2 matrix, with determinant 1 and integer entries, such that c=c'(mod N) and d=d'(mod N).   EXAMPLES     sage: lift_to_sl2z_int(2,6,11)     [1, 8, 2, 17]     sage: m=Matrix(Integers(),2,2,lift_to_sl2z_int(2,6,11))     sage: m     [ 1  8]     [ 2 17]   AUTHOR:     -- Justin Walker lift_to_sl2z_llong(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 562)   Lift a pair (c, d) to an element of SL(2, Z)   (c,d) is assumed to be an element of P1(Z/NZ).  This function computes and returns a list [a, b, c', d'] that defines a 2x2 matrix, with determinant 1 and integer entries, such that c=c'(mod N) and d=d'(mod N).   EXAMPLES     sage: lift_to_sl2z_llong(2,6,11)     [1L, 8L, 2L, 17L]     sage: m=Matrix(Integers(),2,2,lift_to_sl2z_llong(2,6,11))     sage: m     [ 1  8]     [ 2 17]   AUTHOR:     -- Justin Walker load(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 397)   load(filename):   Load \sage object from the file with name filename, which will have an .sobj extension added if it doesn't have one.   NOTE: There is also a special SAGE command (that is not available in Python) called load that you use by typing               sage: load filename.sage           # not tested              The documentation below is not for that command.  The documentation for load is almost identical to that for attach.  Type attach? for help on attach.   This also loads a ".sobj" file over a network by specifying the full URL. (Setting "verbose = False" suppresses the loading progress indicator.)       EXAMPLE:     sage: u = 'http://sage.math.washington.edu/home/was/db/test.sobj'  # optional     sage: s = load(u)                                                  # optional     Attempting to load remote file: http://sage.math.washington.edu/home/was/db/test.sobj     Loading: [.]             sage: s                                                            # optional     'hello SAGE' loads(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 510)   Recover an object x that has been dumped to a string s using s = dumps(x).   EXAMPLES:     sage: a = matrix(2, [1,2,3,-4/3])     sage: s = dumps(a)     sage: loads(s)     [   1    2]     [   3 -4/3] mod = Mod(...) File: sage/rings/integer_mod.pyx (starting at line 75)   Return the equivalence class of n modulo m as an element of $\Z/m\Z$.   EXAMPLES:     sage: x = Mod(12345678, 32098203845329048)     sage: x     12345678     sage: x^100     1017322209155072   You can also use the lowercase version:     sage: mod(12,5)     2 mul = prod(...) File: sage/misc/misc_c.pyx (starting at line 24)   Return the product of the elements in the list x.  If optional argument z is not given, start the product with the first element of the list, otherwise use z.  The empty product is the int 1 if z is not specified, and is z if given.   This assumes that your multiplication is associative; we don't promise  which end of the list we start at.   EXAMPLES:     sage: prod([1,2,34])     68     sage: prod([2,3], 5)     30     sage: prod((1,2,3), 5)     30     sage: F = factor(-2006); F     -1 * 2 * 17 * 59     sage: prod(F)     -2006   AUTHORS:     Joel B. Mohler (2007-10-03 -- Reimplemented in Cython and optimized)     Robert Bradshaw (2007-10-26) -- Balanced product tree, other optimizations, (lazy) generator support mwrank_initprimes = initprimes(...) File: sage/libs/mwrank/mwrank.pyx (starting at line 102)   mwrank_initprimes(filename, verb=False):   INPUT:     filename -- (string) the name of a file of primes     verb -- (bool: default False) verbose or not?   EXAMPLES:     sage: file= SAGE_TMP + '/PRIMES'     sage: open(file,'w').write(' '.join([str(p) for p in prime_range(10^6)]))     sage: mwrank_initprimes(file, verb=False)     sage: mwrank_initprimes("x" + file, True)     Traceback (most recent call last):     ...     IOError: No such file or directory: ... numerical_integral(...) File: sage/gsl/integration.pyx (starting at line 59)   Returns the numerical integral of the function on the interval from xmin to xmax and an error bound.    EXAMPLES:    To integrate the function $x^2$ from 0 to 1, we do        sage: numerical_integral(lambda x: x^2, 0, 1, max_points=100)        (0.33333333333333331, 3.7007434154171879e-15)      To integrate the function $\sin(x)^3 + \sin(x)$ we do       sage: numerical_integral(lambda x: sin(x)^3 + sin(x),  0, pi)       (3.333333333333333, 3.7007434154171883e-14)      We check this with a symbolic integration:       sage: (sin(x)^3+sin(x)).integral(x,0,pi)       10/3   INPUT:    -- a, b: The interval of integration, specified as two numbers             or a as a tuple/list with the first element the lower bound             and the second element the upper bound.  Use             '+inf' and '-inf' for plus or minus infinity.    -- algorithm: valid choices are                  'qag' -- for an adaptive integration                  'qng' -- for a non-adaptive gauss kronrod (samples at a maximum of 87pts)    -- max_points: sets the maximum number of sample points    -- params: used to pass parameters to your function    -- eps_abs, eps_rel: absolute and relative error tolerances    -- rule: This controls the Gauss-Kronrod rule used in the adaptive integration             rule=1: 15 pt rule             rule=2: 21 pt rule             rule=3: 31 pt rule             rule=4: 41 pt rule             rule=5: 51 pt rule             rule=6: 61 pt rule       Higher key values are more accurate for smooth functions but lower       key values deal better with discontinuities.   OUTPUT:     numerical_integral returns a tuple whose first component is     the answer and whose second component is an error estimate.   REMARK:     There is also a method \code{nintegral} on symbolic expressions     that implements numerical integration using Maxima.  It is potentially     very useful for symbolic expressions.     MORE EXAMPLES: If we want to change the error tolerances and gauss rule used     sage: f = lambda x: x^2     sage: numerical_integral(f, 0, 1, max_points=200, eps_abs=1e-7, eps_rel=1e-7, rule=4)     (0.33333333333333331, 3.7007434154171879e-15)   For a Python function with parameters:    sage: f = lambda x, a:1.0/(a[0]+x**2)    sage: [numerical_integral(f, 1, 2, max_points=100, params=[n]) for n in range(10)]   # slightly random output (architecture and os dependent)    [(0.49999999999998657, 5.5511151231256336e-15),     (0.32175055439664557, 3.5721487367706477e-15),     (0.24030098317249229, 2.6678768435816325e-15),     (0.19253082576711697, 2.1375215571674764e-15),     (0.16087527719832367, 1.7860743683853337e-15),     (0.13827545676349412, 1.5351659583939151e-15),     (0.12129975935702741, 1.3466978571966261e-15),     (0.10806674191683065, 1.1997818507228991e-15),     (0.09745444625548845, 1.0819617008493815e-15),     (0.088750683050217577, 9.8533051773561173e-16)]          Note the parameters are always a tuple even if they have one component.   It is possible to perform on infinite intervals as well by using 'inf' or '-inf' in the interval argument. For example,     sage: f = lambda x: float(exp(RR(-x)))     sage: numerical_integral(f, 0, 'inf')       # slightly random output     (0.99999999999957279, 1.8429811298996553e-07)      Note the coercion to the real field RR, which prevents underflow.       sage: f = lambda x: float(exp(RR(-x**2)))     sage: numerical_integral(f,'-inf', 'inf')           # slightly random output     (1.7724538509060035, 3.4295192165889879e-08)   One can integrate any real-valued callable function:     sage: numerical_integral(lambda x: abs(zeta(x)), [1.1,1.5])           # slightly random output     (1.8488570602160455, 2.052643677492633e-14)   We can also numerically integrate symbolic expressions using either this function (which uses GSL) or the native integration (which uses Maxima):     sage: exp(-1/x).nintegral(x, 1, 2)   # via maxima     (0.50479221787318396, 5.6043194293440752e-15, 21, 0)     sage: numerical_integral(exp(-1/x), 1, 2)     (0.50479221787318407, 5.6043194293440744e-15)      IMPLEMENTATION NOTES:     Uses calls to the GSL -- the GNU Scientific Library -- C library.   AUTHORS:     -- Josh Kantor     -- William Stein p1_normalize(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 295) p1_normalize_int(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 91)   p1_normalize_int(N, u, v):   Computes the canonical representative of $\PP^1(\Z/N\Z)$ equivalent to $(u,v)$ along with a transforming scalar.    INPUT:     N -- an integer     u -- an integer     v -- an integer      OUTPUT:     If gcd(u,v,N) = 1, then returns          uu -- an integer          vv -- an integer          ss -- an integer          such that (ss*uu, ss*vv) is equivalent to (u,v) mod N     and if gcd(u,v,N) != 1, returns          0, 0, 0 p1_normalize_llong(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 235)   p1_normalize_llong(N, u, v):   Computes the canonical representative of $\PP^1(\Z/N\Z)$ equivalent to $(u,v)$ along with a transforming scalar.    INPUT:     N -- an integer     u -- an integer     v -- an integer OUTPUT:     If gcd(u,v,N) = 1, then returns          uu -- an integer          vv -- an integer          ss -- an integer          such that (ss*uu, ss*vv) is equivalent to (u,v) mod N     and if gcd(u,v,N) != 1, returns          0, 0, 0 p1list(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 287) p1list_int(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 116)   p1list_int(int N):   Make a list of the normalized elements of $\PP^1(\Z/N\Z)$. p1list_llong(...) File: sage/modular/modsym/p1list.pyx (starting at line 259)   p1list_llong(int N):   Make a list of the normalized elements of $\PP^1(\Z/N\Z)$. pmem_malloc(...) File: sage/rings/memory.pyx (starting at line 20)   Use our own memory manager for for GMP memory management.     WARNING: Call this before the integer initialization or evil things might happen. prod(...) File: sage/misc/misc_c.pyx (starting at line 24)   Return the product of the elements in the list x.  If optional argument z is not given, start the product with the first element of the list, otherwise use z.  The empty product is the int 1 if z is not specified, and is z if given.   This assumes that your multiplication is associative; we don't promise  which end of the list we start at.   EXAMPLES:     sage: prod([1,2,34])     68     sage: prod([2,3], 5)     30     sage: prod((1,2,3), 5)     30     sage: F = factor(-2006); F     -1 * 2 * 17 * 59     sage: prod(F)     -2006   AUTHORS:     Joel B. Mohler (2007-10-03 -- Reimplemented in Cython and optimized)     Robert Bradshaw (2007-10-26) -- Balanced product tree, other optimizations, (lazy) generator support pyrex = cython(...) File: sage/misc/cython_c.pyx (starting at line 4)   Given a block of CYTHON (SAGE's variant of Pyrex) code (as a text string), this function compiles it using your C compiler, and includes it into the global scope of the module that called this function.   WARNING: Only use this from Python code, not from extension code, since from extension code you would change the global scope (i.e., of the SAGE interpreter). And it would be stupid, since you're already writing Cython!   Also, never use this in the standard SAGE library.  Any code that uses this can only run on a system that has a C compiler installed, and we want to avoid making that assumption for casual SAGE usage.  Also, any code that uses this in the library would greatly slow down startup time, since currently there is no caching.   AUTHOR: William Stein, 2006-10-31   TODO: Need to create a clever caching system so code only gets compiled once. random(...) random() -> x in the interval [0, 1). reset(...) File: sage/misc/reset.pyx (starting at line 3)   Delete all user defined variables, reset all globals variables back to their default state, and reset all interfaces to other computer algebra systems.   If vars is specified, just restore the value of vars and leave all other variables alone (i.e., call restore).   INPUT:     vars -- (default: None), a list, or space or comma separated     string.   EXAMPLES:     sage: x = 5     sage: reset()     sage: x     x restore(...) File: sage/misc/reset.pyx (starting at line 37)   Restore predefined global variables to their default values.   INPUT:    vars -- string or list (default: None) if not None, restores            just the given variables to the default value.   EXAMPLES:     sage: x = 10; y = 15/3; QQ='red'     sage: QQ     'red'     sage: restore('QQ')     sage: QQ     Rational Field     sage: x     10     sage: y = var('y')     sage: restore('x y')     sage: x     x     sage: y     Traceback (most recent call last):     ...     NameError: name 'y' is not defined     sage: x = 10; y = 15/3; QQ='red'     sage: ww = 15     sage: restore()     sage: x, QQ, ww     (x, Rational Field, 15)     sage: restore('ww')     sage: ww     Traceback (most recent call last):     ...     NameError: name 'ww' is not defined sagex = cython(...) File: sage/misc/cython_c.pyx (starting at line 4)   Given a block of CYTHON (SAGE's variant of Pyrex) code (as a text string), this function compiles it using your C compiler, and includes it into the global scope of the module that called this function.   WARNING: Only use this from Python code, not from extension code, since from extension code you would change the global scope (i.e., of the SAGE interpreter). And it would be stupid, since you're already writing Cython!   Also, never use this in the standard SAGE library.  Any code that uses this can only run on a system that has a C compiler installed, and we want to avoid making that assumption for casual SAGE usage.  Also, any code that uses this in the library would greatly slow down startup time, since currently there is no caching.   AUTHOR: William Stein, 2006-10-31   TODO: Need to create a clever caching system so code only gets compiled once. save(...) File: sage/structure/sage_object.pyx (starting at line 452)   save(obj, filename=None):   Save obj to the file with name filename, which will  have an .sobj extension added if it doesn't have one. This will \emph{replace} the contents of filename.   EXAMPLES:     sage: a = matrix(2, [1,2,3,-5/2])     sage: save(a, 'test.sobj')     sage: load('test.sobj')     [   1    2]     [   3 -5/2]     sage: E = EllipticCurve([-1,0])     sage: P = plot(E)     sage: save(P, 'test.sobj')     sage: save(P, filename="sage.png", xmin=-2)     sage: load('test.sobj')     Graphics object consisting of 2 graphics primitives search(...) File: sage/misc/search.pyx (starting at line 28)   Return (True,i) where i is such that v[i] == x if there is such an i, or (False,j) otherwise, where j is the position that a should be inserted so that v remains sorted.   INPUT:     v -- a list, which is assumed sorted     x -- Python object OUTPUT:     bool, int sleep(...) sleep(seconds)   Delay execution for a given number of seconds.  The argument may be a floating point number for subsecond precision. var(...) File: sage/calculus/var.pyx (starting at line 3)   Create a symbolic variable with the name \emph{s}.   INPUT:     s -- a string, either a single variable name,          or a space or comma separated list of          variable names.   NOTE: The new variable is both returned and automatically injected into the global namespace.  If you use var in library code, it is better to use sage.calculus.calculus.var, since it won't touch the global namespace.   EXAMPLES: We define some symbolic variables:     sage: var('n xx yy zz')     (n, xx, yy, zz)   Then we make an algebraic expression out of them.     sage: f = xx^n + yy^n + zz^n; f     zz^n + yy^n + xx^n   We can substitute a new variable name for n.     sage: f(n = var('sigma'))     zz^sigma + yy^sigma + xx^sigma   If you make an important builtin variable into a symbolic variable, you can get back the original value using restore:     sage: var('QQ RR')     (QQ, RR)     sage: QQ     QQ     sage: restore('QQ')     sage: QQ     Rational Field   We make two new variables separated by commas:     sage: var('theta, gamma')     (theta, gamma)     sage: theta^2 + gamma^3     gamma^3 + theta^2   The new variables are of type SymbolicVariable, and belong to the symbolic expression ring:     sage: type(theta)     <class 'sage.calculus.calculus.SymbolicVariable'>     sage: parent(theta)     Symbolic Ring vecsmall_to_intlist(...) File: sage/libs/pari/gen.pyx (starting at line 6478)   INPUT:     v -- a gen of type Vecsmall OUTPUT:     a Python list of Python ints vector(...) File: sage/modules/free_module_element.pyx (starting at line 100)   Return a vector over R with given entries.   CALL FORMATS:     1. vector(object)     2. vector(ring, object)     3. vector(object, ring)     4. vector(numpy_array)   In each case, give sparse=[True|False] as an option.      INPUT:     elts -- entries of a vector (either a list or dict).     R -- ring     sparse -- optional      OUTPUT:     An element of the free module over R of rank len(elts).    EXAMPLES:     sage: v = vector([1,2,3]); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Ambient free module of rank 3 over the principal ideal domain Integer Ring     sage: v = vector([1,2,3/5]); v     (1, 2, 3/5)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field   All entries must \emph{canonically} coerce to some common ring:     sage: v = vector([17, GF(11)(5), 19/3]); v     Traceback (most recent call last):     ...     TypeError: unable to find a common ring for all elements          sage: v = vector([17, GF(11)(5), 19]); v     (6, 5, 8)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Finite Field of size 11     sage: v = vector([17, GF(11)(5), 19], QQ); v     (17, 5, 19)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field     sage: v = vector((1,2,3), QQ); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field     sage: v = vector(QQ, (1,2,3)); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Vector space of dimension 3 over Rational Field     sage: v = vector(vector([1,2,3])); v     (1, 2, 3)     sage: v.parent()     Ambient free module of rank 3 over the principal ideal domain Integer Ring   You can also use \code{free_module_element}, which is the same as \code{vector}.     sage: free_module_element([1/3, -4/5])     (1/3, -4/5)   Make a vector mod 3 out of a vector over ZZ:     sage: vector(vector([1,2,3]), GF(3))     (1, 2, 0)   Any 1 dimensional numpy array of type float or complex may be passed to vector. The result will vector in the appropriate dimensional vector space over the real double field or the complex double field. The data in the array must be contiguous so columnwise slices of numpy matrices will rase an exception.   sage: import numpy sage: x=numpy.random.randn(10) sage: y=vector(x) sage: v=numpy.random.randn(10)*numpy.complex(0,1) sage: w=vector(v)

Data
		AA = Algebraic Field CC = Complex Field with 53 bits of precision CDF = Complex Double Field CFF = Field of all continued fractions Cusps = Set P^1(QQ) of all cusps DOT_SAGE = '/home/nils/.sage/' DSAGE_DIR = '/home/nils/.sage/dsage' ExtendedIntegerRing = Extended Integer Ring ExtendedRationalField = Extended Rational Field FunctionRing = Ring of Mathematical Functions I = I Infinity = +Infinity InfinityRing = The Infinity Ring NaN = NaN QQ = Rational Field RDF = Real Double Field RIF = Real Interval Field with 53 bits of precision RQDF = Real Quad Double Field RR = Real Field with 53 bits of precision SAGE_DB = '/home/nils/.sage//db' SAGE_ROOT = '/usr/local/share/sage' SAGE_TMP = '/home/nils/.sage//temp/freya/3521/' SAGE_URL = 'http://sage.math.washington.edu/sage/' SR = Symbolic Ring SloaneEncyclopedia = Sloane Online Encyclopedia of Integer Sequences UnsignedInfinityRing = The Unsigned Infinity Ring ZZ = Integer Ring __version__ = '$Id: quadratic-modules.sage,v 1.45 2007-11-30 13:50:28 nils Exp $' abs_symbolic = abs acos = acos acosh = acosh airy_ai = airy_ai airy_bi = airy_bi arrow = <sage.plot.plot.ArrowFactory instance at 0x2b5089109c68> asin = asin asinh = asinh atan = atan atanh = atanh attach = Attach a file to a running instance of SAGE...d automatically reloads it when it changes. axiom = Axiom bar_chart = <sage.plot.plot.BarChartFactory instance at 0x2b5089109cb0> brun = brun catalan = catalan ceil = ceil circle = <sage.plot.plot.CircleFactory instance at 0x2b5089109cf8> contour_plot = <sage.plot.plot.ContourPlotFactory instance at 0x2b5089109d40> copying = Type license() to see the full license text. copyright = Type license() to see the full license text. cos = cos cosh = cosh cot = cot coth = coth csc = csc csch = csch disk = <sage.plot.plot.DiskFactory instance at 0x2b5089109e60> dsage = <sage.dsage.dsage.DistributedSage object at 0x245e7d0> e = e ecm = <sage.interfaces.ecm.ECM instance at 0xc24638> elliptic_curves = <sage.schemes.elliptic_curves.ec_database.EllipticCurves instance at 0x1c3efc8> erf = erf euler_gamma = euler_gamma exit = 'Use Ctrl-D (i.e. EOF), %Exit, or %Quit to exit without confirmation.' exp = exp false = False floor = floor gap = Gap genus2reduction = Genus 2 reduction program gfan = <sage.interfaces.gfan.Gfan instance at 0xb3af80> gnuplot = Interface to Gnuplot golden_ratio = golden_ratio gp = GP/PARI interpreter graphs = <sage.graphs.graph_generators.GraphGenerators instance at 0x1cdd7e8> hg_doc = Hg repository 'SAGE Documentation' in directory /usr/local/share/sage/devel/doc hg_extcode = Hg repository 'SAGE External System Code (e.g., ...' in directory /usr/local/share/sage/data/extcode hg_sage = Hg repository 'SAGE Library Source Code' in directory /usr/local/share/sage/devel/sage hg_scripts = Hg repository 'SAGE Scripts' in directory /usr/local/share/sage/local/bin i = I iglob = set(['In', 'InteractiveShell', 'Out', '_', '__', '__IP', ...]) infinity = +Infinity interfaces = ['gap', 'gp', 'mathematica', 'gnuplot', 'kash', 'magma', 'macaulay2', 'maple', 'maxima', 'mathematica', 'mwrank', 'octave', 'singular', 'sage0', 'sage'] is_32_bit = False is_64_bit = True kash = Kash khinchin = khinchin lcalc = Rubinsteins L-function Calculator license = Type license() to see the full license text. lie = LiE Interpreter line = <sage.plot.plot.LineFactory instance at 0x2b5089109d88> line3d = <sage.plot.plot3dmatplotlib.Line3dFactory instance at 0x2b5089127290> ln = log log2 = log2 macaulay2 = Macaulay2 magma = Magma magma_free = <sage.interfaces.magma_free.MagmaFree instance at 0xbd0ef0> maple = Maple mathematica = Mathematica matlab = Matlab matrix_plot = <sage.plot.plot.MatrixPlotFactory instance at 0x2b5089109dd0> maxima = Maxima maxima_calculus = Maxima merten = merten moebius = The Moebius function mupad = Mupad mwrank = Mwrank notebook = <sage.server.notebook.notebook_object.NotebookObject instance at 0x24571b8> octave = Octave oo = +Infinity pari = Interface to the PARI C library pi = pi plot = <sage.plot.plot.PlotFactory instance at 0x2b5089109f38> plot_vector_field = <sage.plot.plot.PlotFieldFactory instance at 0x2b5089109e18> point = <sage.plot.plot.PointFactory instance at 0x2b5089109ea8> point3d = <sage.plot.plot3dmatplotlib.Point3dFactory instance at 0x2b5089127248> points = <sage.plot.plot.PointFactory instance at 0x2b5089109ea8> polygon = <sage.plot.plot.PolygonFactory instance at 0x2b5089109ef0> polymake = Object that makes polytopes. povray = POV-Ray The Persistence of Vision Ray Tracer prime_pi = Function that counts the number of primes up to x quit = 'Use Ctrl-D (i.e. EOF), %Exit, or %Quit to exit without confirmation.' sage0 = Sage sage_mode = 'cmdline' sec = sec sech = sech sh = <sage.misc.sh.Sh instance at 0xaabe60> sin = sin singular = Singular sinh = sinh sloane = <class 'sage.combinat.sloane_functions.Sloane'> sqrt = sqrt sympow = Watkins Symmetric Power L-function Calculator tachyon_rt = John Stone's Tachyon Ray Tracer tan = tan tanh = tanh text = <sage.plot.plot.TextFactory instance at 0x2b5089109f80> true = True twinprime = twinprime unsigned_infinity = Infinity with_statement = _Feature((2, 5, 0, 'alpha', 1), (2, 6, 0, 'alpha', 0), 32768) x = x